Характеристическая функция

Если – комплекснозначная случайная величина, где X и Y – действительные случайные величины, то

.

Определение. Характеристической функцией случайной величины X называется комплекснозначная функция

,

где , .

В частности,

, если X – СВДТ;

, если X – СВНТ.

Замечание 1. По характеристической функции однозначно восстанавливается функция распределения .

Замечание 2. Характеристическая функция представляет собой преобразование Фурье плотности вероятности СВНТ X. Поэтому обратное преобразование Фурье приводит к соотношению

.

Таким образом, для СВНТ задание равносильно заданию , и наоборот.

Характеристическая функция обладает следующими свойствами:

1. .

2. .

3. Если существует m -й абсолютный момент , то существуют производные характеристической функции до m -го порядка включительно, причем , где .

4. Если , то .

5. Если , причем независимы в совокупности, то .

Замечание. Пользуясь этим свойством, можно решать задачу определения закона распределения суммы независимых случайных величин (задачи композиции). Действительно, если , то . Найдя , можно по характеристической функции восстановить закон распределения случайной величины Z. Кроме того, по виду можно ответить на вопрос о композиционной устойчивости распределения.

6. , где черта означает операцию комплексного сопряжения. В частности, отсюда следует, что если – действительная функция, то она обязательно четная.

Определение. Характеристической функцией случайного вектора называется комплекснозначная функция n действительных переменных , определяемая равенством

.

Пример 2.3.25. Найти характеристическую функцию случайной величины X, имеющей биномиальное распределение (), и с ее помощью вычислить , и .

Решение. Согласно определению характеристической функции СВДТ X

.

По свойству 3 для :

,

.

Отсюда

, .

Пример 2.3.26. Найти характеристическую функцию случайной величины X, имеющей пуассоновское распределение (), и с ее помощью вычислить , и .

Решение. Согласно определению характеристической функции СВДТ X

.

По свойству 3 для :

,

.

Отсюда

, .

Пример 2.3.27. Найти характеристическую функцию случайной величины X, имеющей геометрическое распределение (), и с ее помощью вычислить , и .

Решение. Согласно определению характеристической функции СВДТ X

.

По свойству 3 для :

,

.

Отсюда

, .

Пример 2.3.28. Найти характеристическую функцию случайной величины X, имеющей равномерное распределение ().

Решение. Согласно определению характеристической функции СВНТ X

.

Замечание. Для случайной величины с помощью характеристической функции можно вычислить , и . Однако это не очень удобно, поэтому мы этого не делаем.

Пример 2.3.29. Найти характеристическую функцию случайной величины X, имеющей показательное распределение (), и с ее помощью вычислить , и .

Решение. Согласно определению характеристической функции СВНТ X

.

По свойству 3 для :

,

,

Отсюда

, .

Пример 2.3.30. Найти характеристическую функцию случайной величины X, имеющей нормальное распределение (), и с ее помощью вычислить , и .

Решение. Найдем вначале характеристическую функцию случайной величины . Согласно определению характеристической функции СВНТ X

Дифференцируя (по t) и применяя метод интегрирования по частям, получим:

.

Решая это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными при начальном условии (свойство 2 характеристической функции), находим . Отсюда характеристическая функция случайной величины имеет вид

.

Рассмотрим теперь случайную величину . Тогда нормированная случайная величина имеет нормальное распределение и, следовательно, характеристическую функцию . Далее, по свойству 4 характеристической функции, для случайной величины имеем

.

Найдем теперь математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение :

,

,

Отсюда

, .

Пример 2.3.31. Проверить композиционную устойчивость нормального закона.

Решение. Пусть независимые случайные величины X и Y имеют нормальное распределение: , . Найдем случайной величины , учитывая свойство 5 характеристической функции и опираясь на результаты примера 2.3.30:

.

Откуда видно, что характеристическая функция соответствует нормальному распределению, причем . Значит, нормальный закон является композиционно устойчивым.