Функции многомерных случайных величин

Функция многомерной случайной величины определяется аналогично тому, как определялась функция одномерной случайной величины. Рассмотрим это на примере двумерной случайной величины. Пусть на вероятностном пространстве (, F, P) задана двумерная случайная величина . Предположим, что имеется числовая функция скалярных аргументов x и y. Случайную величину назовем функцией от двумерной случайной величины .

1. Пусть случайные величины X и Y являются дискретными.

Функция от двумерной дискретной случайной величины снова является дискретной случайной величиной, принимающей значения с вероятностями , где – множество возможных значений компоненты X, – множество возможных значений компоненты Y. Тогда для нахождения функции распределения можно воспользоваться соотношением

Однако, как правило, удобнее вначале составить ряд распределения случайной величины . Чтобы его построить, необходимо исключить все те значения , вероятность которых равна нулю, и объединить в один столбец все одинаковые значения , приписав этому столбцу суммарную вероятность.

Пример 2.3.9. Распределение случайного вектора задано таблицей:

Составить закон распределения случайной величины .

Решение. Найдем вначале значения функции :

, , , , , .

Значит, случайная величина Z имеет два возможных значения:

, .

Вероятность возможного значения равна сумме вероятностей несовместных событий и , т.е. . Вероятность возможного значения равна сумме вероятностей несовместных событий , , и , т.е. . Поэтому ряд распределения случайной величины Z имеет вид:

Таким образом, случайной величины Z имеет биномиальное распределение .

Ответ: .

2. Пусть случайные величины X и Y являются непрерывными.

В случае, когда – двумерная непрерывная случайная величина с плотностью , функция распределения случайной величины определяется формулой

.

Область интегрирования здесь состоит из всех точек x и y, для которых . Найдя функцию распределения , далее можно дифференцированием по z (в тех точках, в которых имеет производную по z) найти плотность распределения случайной величины Z.

Пример 2.3.10. Случайная точка распределена равномерно в квадрате Q со стороной 1 (рис. 2.3.1 а). Найти закон распределения площади Z прямоугольника со сторонами X и Y: .

Решение. Очевидно, что в данном случае случайные величины X и Y независимы (Советуем убедиться в этом самостоятельно!):

Область интегрирования заштрихована на рис. 2.3.1 б.

а б

Рис. 2.3.1.

Тогда

,

где . Таким образом, окончательно получим:

Дифференцируя это выражение по z, получим плотность распределения случайной величины Z:

Ответ: