Функции одномерных случайных величин

Функции случайных величин

Функции одномерных случайных величин

Пусть на вероятностном пространстве (, F, P) задана случайная величина X. Предположим, что имеется числовая функция скалярного аргумента x. Случайную величину назовем функцией от одномерной случайной величины X. Покажем, как построить закон распределения функции , зная закон распределения случайного аргумента X.

1. Пусть случайная величина X является дискретной.

Функция от СВДТ X снова является дискретной случайной величиной, принимающей значения с вероятностями , где – множество возможных значений СВДТ X. Тогда для нахождения функции распределения можно воспользоваться соотношением

.

Однако, как правило, удобнее вначале составить ряд распределения случайной величины . Чтобы его построить, необходимо объединить в один столбец все одинаковые значения , приписав этому столбцу суммарную вероятность.

Пример 2.3.1. Закон распределения случайной величины X имеет вид:

Рассмотрим две числовые функции и . Подставляя вместо аргумента x случайную величину Х, получим новые случайные величины и . Построить ряды распределений случайных величин: 1) , 2) . Составить их функции распределения.

Решение. 1) Найдем возможные значения случайной величины Y:

, , , .

Тогда ряд распределения случайной величины Y имеет вид:

Составим теперь функцию распределения случайной величины :

2) Найдем вначале значения функции :

, , , .

Значит, случайная величина Z имеет три возможных значения:

, , .

Вероятность возможного значения равна сумме вероятностей несовместных событий и , т.е. . Поэтому ряд распределения случайной величины Z имеет вид:

Составим теперь функцию распределения случайной величины :

Ответ: 1) 2)

2. Пусть случайная величина X является непрерывной.

Рассмотрим вначале случайную величину , где – гладкая строго монотонная функция скалярного аргумента x, а X – СВНТ с плотностью . Тогда плотность распределения случайной величины Y находится по формуле:

,

где – обратная по отношению к функция.

Если же – немонотонная функция на множестве возможных значений X, то следует разбить этот промежуток на такие интервалы, в которых функция монотонна, и найти плотности распределений для каждого из интервалов монотонности, а затем представить в виде суммы

.

В частности, если функция монотонна в двух интервалах, в которых соответствующие обратные функции равны и , то

.

Пример 2.3.2. Найти плотность распределения СВНТ (), где СВНТ X имеет плотность .

Решение. при гладкая строго монотонная функция. Тогда обратная функция . Отсюда . Таким образом,

.

Ответ: .

Пример 2.3.3. Случайная величина X распределена нормально с параметрами m и (). Доказать, что линейная функция , где , также распределена нормально, причем , .

Решение. Напишем плотность распределения случайной величины X:

.

Применим формулу , выведенную в предыдущем примере 2.3.2. Получим

.

Отсюда видно, что .

Пример 2.3.4. Случайная величина X распределена по закону Коши

.

Найти плотность распределения случайной величины .

Решение. гладкая строго монотонная функция. Тогда обратная функция . Отсюда , причем . Значит, .

Таким образом,

.

Ответ: .

Пример 2.3.5. Случайная величина X распределена равномерно в интервале (). Найти плотность распределения случайной величины .

Решение. Найдем плотность распределения случайной величины X:

Из уравнения найдем обратную функцию . Поскольку в интервале функция немонотонна, то необходимо разбить этот интервал на интервалы и , в которых эта функция монотонна. На интервале обратная функция , на интервале обратная функция . Тогда искомая плотность распределения может быть найдена из равенства

.

Найдем производные обратных функций:

, .

Тогда модули производных равны

, .

Учитывая, что при , получим

, .

Отсюда

.

Так как при , то . Таким образом, на интервале искомая плотность распределения равна , вне этого интервала .

Ответ:

Рассмотрим далее на примерах, как находится функция распределения случайной величины , если известна функция распределения случайной величины X.

Пример 2.3.6. Задана функция распределения случайной величины X. Найти функцию распределения случайной величины , если: 1) ; 2) .

Решение. 1) По определению функции распределения . Поскольку функция – возрастающая, то неравенство выполняется, если имеет место неравенство , поэтому

.

Из уравнения выразим x: . Тогда

.

2) По определению функции распределения . Поскольку функция – убывающая, то неравенство выполняется, если имеет место неравенство , поэтому

.

Из уравнения выразим x: . Тогда

.

Ответ: 1) ; 2) .