Биномиальное распределение. Пусть производится п независимых испытании, в каждом из которых событие А может либо появиться, либо не появиться

Пусть производится п независимых испытании, в каждом из которых событие А может либо появиться, либо не появиться. Пусть также вероятность р появления события А в каждом испытании постоянна. В качестве ДСВ X рассмотрим число появлений события А вэтих п испытаниях. Очевидно, что x₀ = 0, x₁ = 1, x₂ = 2,..., x_n = п. Вероятности этих (n+1) возможных значений вычисляются по формуле Бернулли:

(3)

где q=1–р - вероятность противоположного события, т.е. непоявления события А водном испытании.

Распределение случайной величины - числа появления события А в п независимых испытаниях, называется биномиальным распределением.

Формула (3) представляет собой аналитическую форму биномиального закона распределения СВ. Правая часть в формуле (3) представляет собой общий член разложения бинома Ньютона. Используя эту формулу, можно составить таблицу биномиального распределения.

Можно показать также, что сумма всех вероятностей биномиального распределения равна единице, т.е.

(4)

Пример 2. Банк выдает 5 кредитов. Вероятность невозврата кредита равна 0, 2 для каждого из заемщиков. Составить таблицу закона распределения числа заемщиков Х, не вернувших кредит по окончании срока кредитования.

Решение. Примем за А событие - невозврат кредита. Так как заемщики действуют независимо, то выдачу кредитов можно считать как п = 5 независимых событий. Вероятность невозврата k кредитов из 5 описывается биномиальным распределением (3), где р = 0, 2, q = 0, 8, а параметр k принимает значения от 0 до 5. Используя формулы для расчета , получаем: