Обратная засечка (задача Потенота)

Сущность обратной засечки заключается в определении положения четвертого пункта (точки стояния) по трем исходным. Эта задача встречается при создании съёмочных сетей, привязке аэрофотоснимков, выносе проектов в натуру и других случаях.

Для ее решения предложено много аналитических и графических способов. При аналитическом способе задаются координаты трех исходных пунктов и измеренные углы или направления на определяемом пункте.

На основе трех исходных пунктов задача решается без контроля правильности измерения углов и выборки исходных данных. Поэтому на практике используют четыре исходных пункта.

Точность определения положения пункта обратной засечкой зависит от ошибок измерения углов, ошибок исходных данных и взаимного расположения пунктов. Если определяемый пункт находится вблизи окружности, проходящей через исходные пункты, то задача решается грубо. В связи с этим обратную засечку рекомендуется делать с предвычислением точности.

В учебнике [1, §162] приводится решение обратной засечки с использованием формул Кнейссля, однако она требует графических построений или дополнительных расчетов.

Приведем вывод формул, которые позволяют решить задачу с оценкой точности без графических построений.

Рис. 2.22.

Даны координаты пунктов А, B, C. Измерены углы β 1, β 2 (рис. 2.22). Требуется определить координаты точки P (X, Y). В начале решением обратных геодезических задач определим дирекционные углы и длины исходных линий:

, (26)

(27)

, (28)

(29)

Далее задача сводится к определению углов φ и ψ. Определим полусумму углов φ и ψ, которую обозначим как А

. (30)

Определим полуразность этих углов, которую обозначим через В

(31)

Определим диаметры описанных окружностей около треугольников ABP и BCP:

(32)

Выразим сторону ВР через Д ₁, Д ₂ и углы φ и ψ.

(33)

Откуда

Разделив две части этого равенства на Д ₁sin ψ, получим

.

Образуем пропорцию и введем обозначение N:

(34)

С учетом (32)

(35)

С учетом тригонометрических формул

Отсюда

. (36)

Вычислив значения А и В, определим углы φ и ψ

φ = А+ В, (37)

ψ = А – В. (38)

Далее определим длину линии АР

(39)

и координаты точки Р:

(40)

(41)

Таким образом, задача решается по формулам 26–41.

Для контроля координат точки Р можно вычислить второй раз, используя формулы

,

Среднюю квадратическую ошибку в положении пункта Р, определенного обратной засечкой, можно вычислить по формуле

(42)

где m_β – средняя квадратическая ошибка измерения углов β ₁ и β ₂.

Рассмотренная обратная засечка по трем исходным пунктам называется однократной. В таком виде она, как правило, не допускается, т.к. не контролируется правильность измерения углов и выписка исходных данных.

Для полного контроля наблюдается не 3, а минимум 4 пункта (рис. 2.23).

Рис. 2.23.

Задача решается дважды при различном сочетании исходных пунктов. Например, первый раз используются пункты А, В, С и второй раз пункты В, С, D. Для каждого варианта решения определяется средняя квадратическая ошибка положения пункта М по формуле (42). Ожидаемое среднее квадратическое значение M_r расхождения в положении пункта Р при двух решениях составит

Отсюда допустимое расхождение в значениях вычисленных координат можно установить по формуле

где X^/ , Y^/ – координаты точки из первого решения;

X^// , Y^// – координаты точки из второго решения.

За окончательное значение координат пункта Р берут среднее арифметическое, которое будет иметь ошибку