Дискретные случайные величины.

СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

Случайная величина – это величина, которая в результате эксперимента (опыта, испытания) принимает одно из своих возможных значений, причем заранее неизвестно, какое именно.

Примеры случайных величин:

· число дефектных деталей в партии при контроле качества;

· процент завершенного строительства жилого дома спустя 6 месяцев;

· число клиентов операционного отдела банка в течение рабочего дня;

· число продаж автомобилей в течение месяца.

Случайные величины обозначаются заглавными латинскими буквами: X, Y, Z и тому подобными. Строчные буквы используются для обозначения определенных значений случайной величины. Например, случайная величина X принимает значения x ₁, x ₂, …, x_n..

Среди случайных величин различают дискретные и непрерывные случайные величины.

Дискретные случайные величины.

Дискретной случайной величиной называют случайную величину, которая принимает конечное или бесконечное (но счетное) число отдельных, изолированных возможных значений с определенными вероятностями.

Дискретной называют случайную величину, которая может принимать отдельные значения с определенными вероятностями.

Например, число студентов на лекции – дискретная случайная величина.

Закон распределения дискретной случайной величины называют соответствие между возможными значениями и их вероятностями.

Закон распределения дискретной случайной величины можно задать:

1. таблично – рядом распределения;

2. графически;

3. формулой.

Рядом распределения называется совокупность всех возможные значения этой случайной величины х₁, х₂, …, x_n с соответствующими им вероятностями р₁, р₂, …, р_n. Он может быть задан в виде таблицы:

При этом вероятности р_i удовлетворяют условию: .

Графическое изображение ряда распределения называется многоугольником распределения. Для его построения возможные значения случайной величины (х_i) откладываются по оси абсцисс, а вероятности р_i – по оси ординат; точки А_i c координатами (х_i, р_i) соединяются ломаными линиями.

Функцией распределения случайной величины Х называется функция F(х), значение которой в точке х равно вероятности того, что случайная величина Х будет меньше этого значения х, то есть F(х) = Р (Х< х).

Функция распределения F(х) для дискретной случайной величины вычисляется по формуле

Суммирование ведется по всем значениям i, для которых х_i < х.

Функция распределения и её график:

Характеристики дискретной случайной величины:

I. Математическим ожиданием М(Х) дискретной случайной величины Х называется сумма произведений всех возможных значений величины Х на соответствующие вероятности:

М(Х) = x₁•p₁ + x₂•p₂ + … + x_n•p_n.

Свойства математического ожидания:

1. Математическое ожидание может быть как положительным, так и отрицательным числом.

2. Математическое ожидание постоянной величины С равно этой постоянной, т.е. М(С) = С.

3. Математическое ожидание суммы нескольких случайных величин равно сумме математических ожиданий этих величин, т.е.

М(X+Y+...+W)=М(X)+М(Y)+...+М(W).

4. Математическое ожидание произведения двух или нескольких взаимно независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий этих величин, т.е. М(XY)=M(X) × M(Y).

5. Математическое ожидание произведения случайной величины на постоянную С равно произведению математического ожидания случайной величины: М(СХ) = С× М(Х).

II. Дисперсией D(X) дискретной случайной величины Х называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины Х от ее математического ожидания

D(X) = M [X – M(X)]²= M (X²) – [M(X)]².

Свойства дисперсии:

1. Дисперсия постоянной величины всегда равна нулю: D(С) = 0.

2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, предварительно возведя его в квадрат: D(СX) = С² D(X).

3. Дисперсия алгебраической суммы двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсией: D(X +Y) = D(X) + D(Y).

III. Средним квадратическим отклонением s(Х) случайной величины Х называется корень квадратный из ее дисперсии:

Пример 1. Найти величину S, математическое ожидание М(Х), дисперсию D(Х) и среднее квадратическое отклонение s(Х) дискретной случайной величины Х, заданной законом распределения в таблице:

Решение.

, 0, 4+S+0, 1+0, 2=1, S=1-0, 4-0, 1-0, 2=0, 3.

Математическое ожидание М(Х) вычисляется по формуле:

М(Х) = x₁· p₁ + x₂· p₂ + … + x_n· p_n.

М(Х) = - 5× 0, 4 + 2× 0, 3 + 3× 0, 1 + 4× 0, 2 = - 0, 3.

Дисперсия вычисляется по формуле: D(Х) = М(Х²) - [М(Х)]².

Закон распределения Х² представлен в таблице:

Математическое ожидание М(Х²) вычисляется по формуле:

М(Х²) = 25× 0, 4 + 4× 0, 3 + 9× 0, 1 + 16× 0, 2 = 15, 3.

Искомая дисперсия: D(Х) = М(Х²) - [М(Х)]² = 15, 3 -(-0, 3)² = 15, 21.

Тогда среднее квадратическое отклонение будет: .