Площадь

Площадь геометрической фигуры — это свойство фигуры зани­мать измеряемое место на плоскости. Площадь фигуры измеряют с помощью единиц площади (м², дм², см², мм²).

В дошкольном возрасте дети сравнивают площади предметов, не называя этот термин, путем наложения предметов, путем сопос­тавления предметов по занимаемому месту на столе, земле.

В 1—3 классах уточняются представления о площади фигур как о свойстве плоских геометрических фигур (вырезать квадрат и раз­делить на 2 треугольника, вырезать 2 треугольника и составить один). При выполнении аналогичных заданий дети знакомятся с некоторыми свойствами площади:

1) площадь фигуры не изменяется при изменении ее положе­
ния на плоскости;

2) часть предмета всегда меньше целого;

3) из одних и тех же заданных фигур можно составить различные
геометрические фигуры.

Само понятие «площадь фигуры» в новом издании учебника вводится в 3 классе. Дети выполняют задания следующих видов: 1) сравнение площадей фигур методом наложения:

Сравни площади круга и треугольника:

(Площадь треугольника меньше площади круга, а пло­щадь круга больше площади треугольника.)

2) сравнение площади фигур по количеству равных квадратов (или любых других мерок):

Сравни площади фигур:

Площади всех фигур равны, т. к. фигуры состоят из 4равных квадратов.)

3) вычерчивание фигур, состоящих из заданного количества квадратов.

Эти задания формируют у детей понятие о площади как о числе квадратных единиц, содержащихся в геометрической фигуре.

Квадратный сантиметр — метрическая мера площади. Один квадратный сантиметр — это площадь квадрата, сторона которого равна 1 см. Запись: 1 см².

Выполняются задания следующих видов:

1) определение площади геометрической фигуры путем подсче­
та квадратных сантиметров содержащихся в данной фигуре;

2) сопоставление длины отрезка и площади фигуры:

Начерти квадрат, сторона которого 4 см. Найди его площадь и периметр.

3) измерение и определение площади фигуры с использовани­
ем формулы

S-a-b

Сама формула в 3 классе не рассматривается, дается лишь сло­весная формулировка:

Чтобы вычислить площадь прямоугольника, изме­ряют его длину и ширину (в одинаковых единицах) и находят произведение полученных чисел.

Используя правило, решают задачи вида:

Вычисли площадь прямоугольника, длины сторон которо­го 9 см и 2 см.

Квадратный дециметр — метрическая мера площади. Один квадратный дециметр — это площадь квадрата, сторона которого равна 1 дм. Запись: 1 дм².

Метрическое соотношение: 1 дм² = 100 см².

Выполняются задания следующих видов:

1) вычерчивание в тетради квадрата со стороной 1 дм, деление
его на квадратные сантиметры (дети убеждаются в правильности
соотношения: 1 дм² = 100 см²);

2) определение площади фигур в дм²:

Высота зеркала прямоугольной формы 12 дм, а ширина 5 дм. Чему равна площадь зеркала?

Квадратный метр — метрическая мера площади. Один квадратный метр — это площадь квадрата, сторона которого равна 1 м. Запись: 1 м². Метрическое соотношение: 1 м² - 100 дм² 1 м² = 10 000 см². 1) Школьники решают задачи на определение площади фигур в м².

Длина комнаты 5 м, а ширина 4 м. Узнай площадь комнаты в м².

В новом издании учебника дети сразу знакомятся со всеми ос­тальными единицами площади: квадратный миллиметр, квадрат­ный километр, ар и гектар.

Квадратный миллиметр — метрическая мера площади. Один квадратный миллиметр — это площадь квадрата, сторона которого равна 1 мм. Для наглядного знакомства с квадратным миллимет­ром удобно использовать миллиметровую бумагу.

Школьники решают задачи на определение площади фигур в мм².

Для окантовки рисунков вырезали из бумаги полоски пря­моугольной формы. Ширина полоски 8 мм, длина 360 мм. Уз­най площадь полоски в мм².

Квадратный километр — метрическая мера площади. Один квадратный километр — это квадрат, сторона которого равна 1 км. Запись: 1 км².

Для формирования представления об этой мере площади при­водят численные примеры, поскольку дать ее наглядное изобра­жение невозможно: Россия занимает площадь более 17 000 000 км², а площадь Франции — 551 000 км².

Ар — это квадрат со стороной Юм.

Запись: 1 а.

Метрическое соотношение: 1 а = 100 м²

В просторечии 1 ар часто называют соткой.

Гектар — это квадрат со стороной 100 м.

Запись: 1 га.

Метрическое соотношение: 1 га = 100 а 1 га = 10 000 м²

Дети выполняют задания вида:

Площадь участка прямоугольной формы б соток. Сколько это квадратных метров?

Узнай длину этого участка, если его ширина 20 м. Какая пло­щадь этого участка свободна, если на нем построен дом пло­щадью 56 м²?

Для дачных участков выделили участок земли площадью 56 га 40 а. Сколько получится участков, если площадь каждого бу­дет 10 соток?

Итогом изучения данной темы является составление таблицы

1 дм² = 10 000 мм² м² = 10 000 см²

1 км² = 1 000 000 м² 1 км² = 100 га 1 км² = 10 000 а

может «промелькнуть как миг», а минуты могут тянуться бесконечно. В связи с этим практически сразу дети начинают знакомиться с при­борами, измеряющими время объективно, т. е. независимо от ощу­щений человека.

При знакомстве с понятием время, на первых порах намного по­лезнее использовать песочные часы, чем часы со стрелками или элект­ронные, поскольку ребенок видит, как сыплется песок и может за­фиксировать какой-то образ процесса (пусть и косвенный). Песочные часы удобно также использовать в качестве промежуточной меры при измерении времени (собственно, именно для этого они и придуманы).

Работа с величиной время осложнена для ребенка большим ко­личеством понятий, которые он должен просто выучить наизусть и научиться применять, что достигается путем многократных повто­рений до полного запоминания. Кроме того, время — это процесс, ко­торый не воспринимается сенсорикой ребенка непосредственно: в от­личие от массы или длины его нельзя потрогать или увидеть. Этот процесс воспринимается человеком опосредованно, по сравнению с длительностью других процессов, оцениваемых и воспринимаемых сенсорикой. При этом привычные стереотипы сравнений: ход солнца по небу, движение стрелок в часах и т. п. как правило чересчур дли­тельны, чтобы ребенок этого возраста действительно мог их оценивать.

Поэтому «Время» — одна из самых трудных тем в начальной школе.

Первые временные представления формируются в дошкольном возрасте: смена времен года, смена дня и ночи.

?

В 1 классе у детей формируются временные представления в результате практической деятельности, связанной с учетом дли­тельности процессов: выполнение режимных моментов дня, веде­ние календаря погоды, знакомство с днями недели, их последова­тельностью, дети знакомятся с часами и ориентированием по ним в связи с посещением школы.

Во 2 классе дети знакомятся с такими единицами времени как час, минута, учатся определять время по циферблату часов.

На этом уроке речь идет не столько о времени как таковом, сколько об устройстве часов, о функциях стрелок. Маленькая стрелка часов — часовая. Она проходит от одной большой черточки до другой за 1 час. Большая стрелка — минутная. Она проходит от одной маленькой черточки до другой за 1 минуту.

В 1 часе — 60 минут.

Дети выполняют задания следующих видов:

1. Сколько времени показывают часы?

2. Как будут расположены стрелки, когда пройдет 1 час?

3. От школы до булочной Оля шла 5 минут, а от булочной до
дома на 2 минуты больше. Сколько минут шла Оля от школы
до дома?

4. Экскурсия в городской парк продолжалась 50 минут, из
них 15 минут пошло на дорогу до парка и обратно. Сколько
времени дети провели в парке?

5. Домашнее задание по математике заняло у Коли 15 ми­
нут, по русскому языку — 10 минут, по чтению — 20 минут.
Сколько времени потратил Коля на выполнение всех домаш­
них заданий?

Тип данных задач и способ их решения детям уже известны, новыми являются только наименования величин, с которыми при­ходится работать. Более подробно и полно эта тема изучается в 3 классе.

Во 2 классе предлагается для решения задача, в которой идет речь о неизученной единице времени — неделе. Предполагается, что дети знакомы с этой единицей практически.

На каникулах Ваня был в лагере 7 недель, а остальное вре­мя—у бабушки в деревне. В деревне он был на 2 недели мень­ше, чем в лагере. Сколько недель длились каникулы?

Предлагаемая задача знакомого типа, новыми являются только наименования величин.

В 3 классе дети знакомятся с такими единицами времени как год, месяц, неделя, сутки, уточняют представление о часе и минуте.

При знакомстве с понятиями год, месяц, неделя дети ведут ак­тивную работу с календарем. Они определяют, сколько месяцев в году, с какого месяца начинается год, называют все месяцы по порядку, определяют количество дней в каждом месяце.

При знакомстве с понятием сутки дети сталкиваются с целой последовательностью «дополнительных» понятий: вчера, сегодня, завтра, послезавтра. Они продолжают работу с календарем: опре­деляют, сколько суток в одной неделе, повторяют дни недели, их последовательность; знакомятся с соотношением: 1 сутки = 24 часа.

Выполняются задания следующих видов:

1. Сколько часов в двух сутках?

2. Сколько суток в двух неделях?

3. Одно рыбацкое судно было в море четверо суток, а дру­
гое — трое суток.

На сколько часов больше было в море первое судно, чем второе?

Сравни

14 сут. * 2 нед. 1 мес. * 35 сут.

Представление о часе и минуте формируются через восприятие привычных длительностей: один час — это перемена и урок, одна минута — что можно успеть сделать за одну минуту.

Дети знакомятся с соотношением: 1 ч = 60 мин (без точки); про­должают работу с циферблатом: учатся показывать определенное вре­мя (сначала целое — 5 часов утра, 6 часов вечера, затем — 6 ч 45 мин).

Предлагаются задачи на определение продолжительности вре­мени события:

.1. Первый урок продолжается 45 мин, а перемена — 10 мин. Сколько минут проходит от начала первого урока и до начала второго?

2. В году 3 месяца летние: июнь, в котором 30 дней, июль и август, в которых по 31 дню. Сколько летних дней в году? Используя календарь, составь и реши похожие задачи про осень, зиму и весну.

Изученные единицы времени включаются в условие задач, тип которых уже известен детям:

Спектакль продолжался 80 мин, а кинофильм 1 ч 10 мин. На сколько минут спектакль шел дольше, чем кинофильм?

Для решения данной задачи необходимо вначале преобразовать единицы (1 ч 10 мин = 70 мин), а затем выполнять арифметиче­ские действия.

На старом станке токарь изготовил за 6 ч 96 деталей, а на новом станке он ту же норму сделал за 4 ч. На сколько деталей больше стал изготавливать токарь за 1 час?

Для решения данной задачи необходимо выяснить производи­тельность труда (количество деталей, сделанных за 1 ч) на старом станке, затем на новом, полученные числа сравнить.

Предлагаются задания на нахождение доли от числа, в которых роль числа играют единицы времени:

Который час наступил, если от начала суток прошла третья часть суток?

Чтобы ответить на этот вопрос нужно вспомнить, сколько часов в одних сутках, как найти одну третью часть от целого (от 24 ч), а затем прибавить полученное количество часов к началу суток.

Сколько минут составляет третья часть часа? Четвертая? Де­сятая?

От школы до булочной Оля шла 5 минут, а от булочной до

В традиционных заданиях на сравнение используются едини­цы времени:

Сравни:

2ч* 120 мин 3 ч * 200 мин

Для выполнения задания надо вспомнить, сколько минут в од­ном часе: 1 ч = 60 мин, 2 ч = 120 мин (в два раза больше).

Изученные единицы времени включаются и в задачи на смекалку:

Два мальчика играли в шахматы 1 ч 20 мин. Сколько време­ни играл в шахматы каждый?

Рассуждение: Поскольку действие происходило одновременно, то время не делится на двоих, значит, каждый из них играл 1 ч 20 мин.

В 4 классе дети знакомятся с новой единицей времени — секун­дой. Запись: 1 с (без точки).

Для того чтобы дать представление о длительности этого про­цесса, предлагается задание: что можно успеть сделать за 1 с?

Рассматривается соотношение: 1 мин = 60 с

Используя это соотношение, дети выполняют задания на пре­образование и сравнение единиц времени:

Заполни пропуски:

2 мин =... с

1 мин 30 с =... с

3 ч 40 мин =... мин
Сравни:

2 ч 30 мин * 50 мин
2 сут * 50 ч

5сут 17 ч *бсут

Еще одна единица времени — век. 1 век = 100 лет.

Дети знакомятся с понятием «лента времени», учатся показы­вать определенные события. «Лента времени» — это вертикальная полоса с нанесенными на нее отметками, которым соответствуют временные промежутки. В новом издании учебника лента време­ни соотносится с числовым лучом, на котором века изображены единичными отрезками.

Итогом изучения темы становится составление таблицы еди­ниц времени, которую дети заучивают наизусть:

1 в. = 100 г. В году 365 или 366 суток.

1 г. = 12 мес. В месяце 30 или 31 сутки.

1 сут = 24 ч В феврале 28 или 29 суток.

1 ч = 60 мин

1 мин = 60 с

Виды выполняемых заданий:

1) задачи на определение конца событий.

1. Школьники пошли на экскурсию в Музей космонавтики
в 11 ч. Дорога до музея и обратно заняла 1 ч. Осмотр музея
продолжался 1 ч 10 мин. Пользуясь циферблатом, определи,
когда школьники возвратились с экскурсии.

2. Когда закончилось занятие кружка «Механическая игруш­
ка», если оно началось в 17 ч и длилось 1 ч 45 мин?

2) задачи на определение начала событий.

1. 27 сентября этого года Оле исполнилось 6 месяцев. На­
зови дату Олиного рождения.

2. Дорога в школу занимает у Веры 12 мин. Когда она должна
выходить из дома в школу, если в школе нужно быть в 8 ч 15 мин?

3) задачи на определение продолжительности событий.

1. Первая четверть учебного года начинается 1 сентября и
заканчивается 4 ноября. Сколько дней длится первая четверть
учебного года?

2. Сколько времени продолжалось занятие в кружке «Юный кон­
структор», если оно началось в 17 ч и закончилось в 18 ч 45 мин?

4) задания на сравнение единиц времени.

Сравни: 3600 с * 6 мин 49 ч * 2 сут

5) задания на преобразование единиц одного наименования
в другие.

Заполни пропуски: 6 мин 5 с =... с 3 ч 15 мин =... мин 75 мин =... ч... мин

Рассуждения: Надо вспомнить, сколько минут составляют 1 час (60 мин = 1 ч), в 75 мин укладываются 60 мин один раз, значит в 75 мин — 1 ч и 15 мин.

6) выполнение арифметических действий с именованными

числами.

Поскольку система исчисления единиц времени не десяте­ричная, то при выполнении арифметических действий с единицами времени не используется способ перевода всех единиц в наимень­шие. Действия производят с каждым наименованием, с последую­щими переводами в нужные единицы времени.

14-^1J» 209

Например:

2 мин 30 с - 1 мин •= 1 мин 30 с (минуты отнимаются от минут) 42 мин 40 с - 17 мин 30 с = 25 мин 10 с.

Способ выполнения: от минут отнимаются минуты, а от секунд — секунды. Запись имеет следующий вид:

42 мин 40 с 17 мин 30 с 25 мин 10 с

6. Скорость

Скорость — это путь, пройденный телом за единицу времени.

Скорость величина физическая, ее наименования содержат две величины — единицы длины и единицы времени: 3 км/ч; 45 м/мин; 20 см/с; 8 м/с и т. п.

Учащимся начальной школы очень трудно объяснить саму за­пись наименований, поскольку с записью дробных чисел в новом варианте учебника они не знакомятся. Трудно дать наглядное пред­ставление о скорости, поскольку это лишь условное отношение пу­ти ко времени, и ни изобразить его, ни увидеть невозможно.

При знакомстве со скоростью обычно обращаются к сравнению времени передвижения объектов или расстояний, пройденных ими за единицу времени.

Например:

Пешеход проходит 4 км в час, а велосипедист за это время проезжает в 3 раза больше. На сколько километров в час боль­ше проезжает велосипедист, чем проходит пешеход?

Средняя скорость — это среднее арифметическое нескольких значений скорости. Например:

Мотоциклист ехал 3 ч со средней скоростью 60 км/ч и 2 ч со средней скоростью 70 км/ч. Какое расстояние он проехал за это время? Узнай среднюю скорость его движения. Работа над задачей:

Для решения задачи используется зависимость: расстояние — это скорость, умноженная на время.

Следовательно: 60 • 3 + 70 ■ 2 = 320 (км) — пройденное расстояние. Чтобы найти среднюю скорость, найдем время движения: Зч + 2ч = 5ч.

Средняя скорость: 320: 5 = 64 (км/ч).

При решении задач на движение используются понятия: ско­рость сближения и скорость удаления.

Скорость сближения — это сумма скоростей двух объектов при одновременном движении навстречу друг другу.

Скорость удаления — это сумма скоростей двух объектов при одновременном движении в противоположные стороны.

Например:

Расстояние между городом и зимовкой 150 км. Из города к зимовке выехали аэросани со средней скоростью 60 км/ч. В это же время навстречу им из зимовки по той же дороге вы­шел лыжник со средней скоростью 15 км/ч. На каком расстоя­нии от зимовки он встретил аэросани?

Работа над задачей:

К задаче полезно сделать рисунок:

15 км/ч г. 60 км/ч

Р

■ 150кМ Анализ задачи удобно провести «от данных» (см. глава 8):

— Что можно узнать, зная, что лыжник и аэросани двигались
навстречу друг другу со скоростью 15 км/ч и 60 км/ч? (Скорость
сближения.)

15 + 60 = 75 (км/ч)—расстояние, на которое они сближались за 1 час.

— Как найти время, через которое они встретятся? (Расстояние
разделить на скорость.)

150: 75 = 2 (ч) — через 2 часа они встретятся.

— Какое расстояние пройдет за это время лыжник?

15 • 2 = 30 (км) — на таком расстоянии от зимовки они встретятся.

Приведем пример задачи, в которой фигурирует «скорость уда­ления»:

От одной пристани одновременно отошли две моторные лодки в противоположных направлениях. Одна шла со средней скоростью 250 м/мин, а другая — 200 м/мин. На каком рас­стоянии друг от друга будут лодки через 40 мин?

Работа над задачей:

К задаче можно сделать рисунок. Хотя роли в способе ее реше­ния рисунок не играет, но создает в воображении ребенка «кар­тинку» сюжета задачи.

200 м/мин Р^ 250 м/мин

—
212

Скорость сближения находим как разность скоростей в задачах «на движение вдогонку». Задач такого вида в рассматриваемом учебнике нет. Приведем пример такой задачи из учебника И.И. Ар-гинской:

Собака погналась за лисицей, которая была от нее на рас­стоянии 30 м. Скачок собаки 2 м, скачок лисицы 1 м. В то вре­мя как лисица делает 3 скачка, собака делает только 2 скачка. Догонит ли собака лисицу? Сколько скачков она должна сделать для этого? Какое расстояние пробежит собака?

Работа над задачей:

Рисунок в этой задаче только создает «картинку» ситуации:

2 ск. = 4 м

----------- > ■

-30 м

Рассуждения:

Скорость собаки — 2 скачка = 4 м, скорость лисицы — 3 скачка = = 3 м. Скорость собаки больше скорости лисицы, поэтому собака будет догонять лисицу.

Скорость сближения: 4м-3м=1мна каждые два скачка соба­ки, т. е. на каждые 4 м пути собаки. Тогда 30 м собака сократит за 30 раз по 2 скачка, т. е. за 60 скачков. Расстояние, которое пробе­жит при этом собака: 2 • 60 = 120 (м).