Средняя арифметическая величина

Если в формулу (2) подставить значение k =1, то получается сред­няя арифметическая величина, т. е

x =∑ х f / f (3)

Поскольку в ранжированном ряду при всех вариантах f = 1, то в этом случае применяется средняя арифметическая невзвешенная (простая) величина, т.е.

x =∑ хn / n (4)

где п — число единиц в статистической совокупности.

Расчет средней арифметической простой можно показать на примере ранжированного ряда, составленного по площади посева льна-долгунца в 20 сельскохозяйственных организациях района (табл.1.).

Таблица 1. Расчет средней арифметической простой в ранжированном ряду распределения

Подставив данные табл. 1 в формулу (4), получаем среднее ариф­метическое простое значение посевной площади льна-долгунца, прихо­дящейся на 1 хозяйство:

x =∑ хn / n = 1200 /20 = 60 га.

Поскольку в дискретном ряду распределения каждая варианта пред­ставлена определенной локальной частотой (частостью), то среднее зна­чение для каждого такого ряда можно рассчитать по формуле средней арифметической взвешенной, т.е.

x =∑ х f / f (5)

где х — варианты (значение признака); f — локальные частоты (час­тости).

Определение средней арифметической взвешенной величины можно показать на примере расчета средней урожайности льносоломки в 20 сельскохозяйственных организациях района (табл. 2).

Подставив в формулу (5) данные табл. 2, можно рассчитать сред­нюю арифметическую взвешенную величину для дискретного ряда рас­пределения:

x =∑ х f / f =6000 / 1200 = 5 т/га

Таблица 2. Расчет средней арифметической взвешенной. Варианты в дискретном ряду распределения

Таким образом, средняя урожайность, взвешенная по посевной пло­щади льна-долгунца, в сельскохозяйственных организациях района со­ставила 5 т/га льносоломки.

Принцип расчета средней величины в интервальном вариационном ряду аналогичен расчету среднего значения признака для дискретного ряда (формула 5); различия состоят лишь в некоторых деталях.

При вычислении среднего значения признака в интервальном ряду распределения, когда в столбце вариант имеется не одно, а два значения, показывающие нижнюю и верхнюю границы интервала, прежде всего це­лесообразно найти его срединное значение, т. е. центр интервала, кото­рый определяется как простая средняя арифметическая из нижней и верх­ней варианты каждого интервала, или как их полусумма. Порядок расчета средней арифметической взвешенной варианты для интерваль­ного вариационного ряда по урожайности льносоломки в сельхозоргани-зациях с закрытыми интервалами показан в табл. 3.

Таблица 3. Расчет средней взвешенной варианты в интервальном ряду распределения по урожайности льносоломки

Для нахождение среднего значения признака в интервальном ряду распределения необходимые данные, приведенные в табл. 3, подставим в формулу (3) и получим:

x =∑ х f / f =5800 т / 1200 га = 4, 83 т /га.

Это означает, что средняя урожайность льносоломки в сельскохо­зяйственных организациях района составляет 4, 83 т/га.

Если интервальный ряд, используемый для вычисления средней вари­анты, содержит открытые интервалы, то их центры могут быть рассчитаны исходя из предположения, что размеры открытых интервалов совпадают с размерами последующих или предыдущих, непосредственно к ним при­мыкающих. При этом срединное значение первого (верхнего) открытого интервала может быть найдено путем вычитания из середины второго ин­тервала величины этого интервала, а срединное значение последнего (ниж­него) открытого интервала — прибавлением к середине предпоследнего интервала величины этого же интервала.

Необходимо иметь в виду, что исчисление средней арифметической ве­личины по данным интервального ряда распределения не всегда абсолютно правильно. Это объясняется неравномерным распределением вариант внут­ри интервала, в качестве же множителя х для каждого интервала использу­ется его середина. Кроме того, при наличии открытых интервалов к этому добавляются неточности, связанные с установлением неизвестных границ. Поэтому рассмотренный способ расчета средней варианты для интерваль­ного ряда целесообразно применять лишь в тех случаях, когда отсутствуют данные о значениях признака для всей совокупности в целом. При наличии же таких данных точное значение средней варианты может быть получено способом расчета для дискретного ряда распределения.

В системе АПК средняя арифметическая величина (простая и взве­шенная) широко применяется при расчете многочисленных средних по­казателей, характеризующих наличие и использование производствен­ного потенциала: площади землепользования, посевной площади, урожайности, поголовья, продуктивности животных, численности ра­ботников, производительности труда, себестоимости продукции, уровня рентабельности и многих других показателей.