Решение. Если количество перчинок N велико, а отношение мало, то задача описывается распределением Пуассона.

Если количество перчинок N велико, а отношение мало, то задача описывается распределением Пуассона.

В среднем, в ложке должны оказаться перчинок. Вероятность того, что в ложке окажется ровно n перчинок, равна В частности, при V = 10 л, л, N = 50 получаем (то есть одна перчинка, в среднем, попадается на 20 ложек), а вероятность:

• того, что в ложке окажется ноль перчинок, p ₀ ≈ 0, 95123,
• того, что в ложке окажется одна перчинка, p ₁ ≈ 0, 04756,
• того, что в ложке окажется две перчинки, p ₂ ≈ 0, 00119,
• того, что в ложке окажется три перчинки, p ₃ ≈ 0, 00002.

Как видим, p_n очень быстро уменьшается с ростом n.

4) Геометрическое распределение. Дискретная случайная величина X имеет геометрическое распределение, если она принимает значения 1, 2,..., m,... (бесконечное, но счётное множество значений) с вероятностями

где 0 < p < 1, q=1 - p, m =1, 2,...

Пример геометрического распределения представлен на рисунке

Ряд геометрического распределения имеет вид:

Очевидно, что вероятности p_i образуют геометрическую прогрессию с первым членом p и знаменателем q (отсюда и название " геометрическое распределение").

Определение геометрического распределения корректно, так как сумма ряда

(так как есть сумма геометрического ряда при ).

Случайная величина X=m, имеющая геометрическое распределение, представляет собой число m испытаний, проведённых по схеме Бернулли, с вероятностью p наступления события в каждом испытании до первого положительного исхода.

Математическое ожидание СВ X, имеющей геометрическое распределение с параметром p,

Дисперсия , где q= 1-p.

Пример. Вероятность поражения цели равна 0, 6. Производится стрельба по мишени до первого попадания (число патронов не ограничено). Требуется составить ряд распределения числа сделанных выстрелов, найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины. Определить вероятность того, что для поражения цели потребуется не более трёх патронов.

Решение. Случайная величина X - число сделанных выстрелов - имеет геометрическое распределение с параметром p= 0, 6. Ряд распределения X имеет вид:

По формулам

Вероятность того, что для поражения цели потребуется не более трёх патронов равна

P(X≤ 3)=P(X= 1 )+P(X=2)+P(X=3)= 0, 6+0, 24+0, 096=0, 936.