Формулы для модели очередей А – простой, также называемой М/М/1

l – среднее число прибытий за период времени;

т – среднее число обслуженных за период времени;

Ls – среднее число единиц (клиентов) в системе = l / l – m;

Ws – среднее время единицы, проводимое в системе (время ожидания + время обслуживания) = 1 / m – l;

Lq – среднее число единиц в очереди = l² / m (m – l);

Wq – среднее время единицы, проводимое в ожидании в оче­реди = l / m (m – l);
r – коэффициент использования системы = l / m;

Р₀ – вероятность 0 единиц в системе (когда обслуживание бесполезно) = 1 – l / m;

Рп > k — вероятность более чем k единиц в системе = (l / m)^{k + 1}

Пример. Компания нанимает ежегодно одного рабочего, чьей обя­занностью является погрузка кирпича на грузовики компании. В среднем проходит 24 грузовика в день, или три грузовика в час, которые появляются согласно распределению Пуассона. Рабочий загружает их по правилу четыре грузовика в час, время обслужи­вания подчиняется экспоненциальному закону.

Полагают, что второй грузчик существенно повысит произво­дительность в фирме. Менеджеры рассчитывают, что два грузчика будут работать по тому же правилу: четыре грузовика в час на одного и восемь грузовиков в час на двоих. Проанализируйте эффект в очереди от такого изменения и сравните с результа­том, найденным для одного рабочего. Какова вероятность того, что будет больше чем три грузовика загружаться или ожидать в очереди?

Водители грузовиков, работающие в компании получают $10 в час в среднем. Грузчики получают около $6 в час. Водители грузовиков, ожидая в очереди, получают зарплату, но бесполезно проводят это время. Что будет с часовыми затрата­ми, если фирма наймет двух грузчиков вместо одного?

Задачи по теме 4. Теория очередей.

1. Электронная компания ремонтирует сломанные машины, ко­торые поступают в среднем с l = 3 в день (согласно распределению Пуассона). Имеется возможность обслужить в среднем т = 8 ма­шин в день, время ремонта распределено согласно экспоненци­альному закону.

а) Каков коэффициент использования сервисной системы?

б) Чему равно среднее время ремонта сломанной машины?

в) Как много машин ожидают в очереди сервиса в некоторое установленное время?

г) Какова вероятность того, что больше чем одна машина находится в системе? Какова вероятность того, что более чем две машины сломались и ожидают ремонта или сервиса? А больше чем три? Больше чем четыре?

2. Автоматическая мойка машин работает шесть дней в неделю, но самый тяжелый день для бизнеса – всегда суббота. Из про­шлых данных менеджер знает, что грязные автомобили прибыва­ют со скоростью 20 в час. Он считает, что с полностью работаю­щей моечной линией автомобили могут быть помыты со скорос­тью один каждые две минуты. Прибытия распределяются по закону Пуассона, а время обслуживания – по экспоненциальному закону. Найдите:

а) среднее число автомобилей в очереди;

б) среднее время ожидания автомобиля перед мойкой;

в) среднее время нахождения автомобиля в сервисной си­стеме;

г) коэффициент использования системы;

д) вероятность отсутствия автомобилей в системе;

3. Университетский кафетерий построен на самообслуживании, когда студенты выбирают блюда, которые хотят, а затем встают в одну очередь платить кассиру. Студенты прибывают со скоростью около четырех человек в минуту согласно закону Пуассона. Один кассир тратит 12 секунд на человека в соответствии с экспоненци­альным распределением.

а) Какова вероятность того, что больше чем два студента на­ходятся в системе? Больше чем три студента? Больше чем четыре?

б) Какова вероятность того, что система пуста?

в) Какое время будет в среднем стоять студент в очереди, прежде чем дойдет до кассира?

г) Каково число студентов в очереди?

д) Каково число студентов в системе?

е) Если добавить второго кассира (который будет работать так же, как и первый), каковы будут операционные характеристики, посчитанные в пп. «б», «в», «г» и «д»? Студенты ждут в одной очереди, и первый обслуживается освободившимся кассиром.

4.В столовую приходят на обед студенты из расчета 15 человек за 30 минут. Кассир может произвести расчеты с одним студентом за 1, 5 минуты.

Определите основные параметры данной СМО.

Тесты по теме 4. Выберите только один верный ответ

31. В моделях теории очередей являются общимпонятием:

а) линии обслуживания;

б) автомоби­ли в очереди на ремонт;

в) студен­ты, ожидающие консультации профессора;

г) нет верных ответов.

32. В общих ситуациях ожидания выделяют_____компонент:

а) 2;

б) 3;

в) 4;

г) 5.

33. Общие затраты в моделях теории очередей состоят из:

а) затрат обслуживания;

б)затрат ожидания;

в) нет верных ответов;

г) верно а), б).

34. Основной критерий эффективности в моделях теории очередей – это минимум:

а) затрат обслуживания;

б)затрат ожидания;

в) общих затрат;

г) все ответы равны.

35. В моделях теории очередей выделяют следующие компоненты:

а) входы системы;

б) дисциплина очереди, или собственно система ожидания;

в) сервисное обслуживание;

г) все ответы равны.

36. Входы системы имеют______ главных характеристик:

а) 2;

б) 3;

в) 4;

г) 5.

37. Дисциплина очереди, или собственно система ожидания имеет____ главных характеристик:

а) 2;

б) 3;

в) 4;

г) 5.

38. Сервисное обслуживание имеет____ главных характеристик:

а) 2;

б) 3;

в) 4;

г) 5.

39. Состояния очереди измеряется_____ показателями:

а) 5;

б) 6;

в) 7;

г) 8.

40. Имеется____ моделей теории очередей:

а) 3;

б) 4;

в) 5;

г) 6.