Задачи рационального использования материальных ресурсов. Раскройная задача и оптимизация состава смеси.

Логистика подразумевает рациональное использование ресурсов. Определение рационального количества ресурсов осуществляется математически. В математике для решения таких задач используются методы линейного программирования. Алгоритмы решения задач линейного программирования предусматривают перебор возможных вариантов, ориентируясь на целевую функцию и ограничения, и требует выполнения большой вычислительной работы. А поэтому в современных условиях с этой целью следует использовать компьютерные технологии. Однако указанные алгоритмы имеют несомненное теоретическое значение. К задачам линейного программирования в логистике относятся:

· транспортная задача;

· задача на раскрой материалов (металлических прутков, досок и т.д.);

· задача размещения баз снабжения;

· задача по оптимизации ассортиментной загрузки производства.

1). Транспортная задача выглядит следующим образом.

Товары, сосредоточенные в m пунктах отправления в количествах а ₁, а ₂, …, а _m, необходимо доставить в каждый из n пунктов назначения в количествах b₁, b₂, …, b_n. Стоимость перевозки товара из i пункта отправления в j пункт назначения равна с_ij. Следует определить оптимальный план развозки.

В реальных условиях транспортная задача линейного программирования применяется в сетевой торговле при развозке товаров с распределительных центров каждому магазину сети, в соответствии с потребностями каждого магазина. В условиях рыночной экономики, когда действует рынок транспортных услуг, грузоотправители выбирают себе подходящего перевозчика согласно своим критериям оптимальности по Парето и независимо друг от друга. Однако за определенный период времени (например, за год) суммарный объем транспортной работы для совокупности грузоотправителей и грузополучателей установится на оптимальном уровне согласно модели транспортной задачи линейного программирования.

2). Для раскройной задачи модель имеет следующий вид:

а) целевая функция:

Целевая функция предусматривает минимум отходов, при соблюдении требований комплектности.

б) ограничения:

,

где:

1, 2, …. i … m – виды заготовок;

1, 2, …. j … n – варианты раскроя материала;

а _i – количество заготовок в комплекте;

к_ij – количество заготовок i вида в варианте раскроя j;

С_j – отходы в варианте раскроя j;

х_ij – искомая величина (количество исходных материалов, раскраиваемых по варианту j).

Решение состоит из нескольких этапов (на всякий случай пишу):

1. Составляются возможные варианты раскроя.

2. Составляется опорный план раскроя.

3. Определяются значения индексов для опорного плана, для чего составляется система уравнений для индексов.

4. Подсчитывается сумма индексов для каждого варианта раскроя (количество заготовок в варианте раскроя умножаются на соответствующие индексы).

5. Определяется, какой вариант должен быть исключен из опорного плана (по нескольким вариантам составляется система уравнений).

6. Определяются значения индексов для нового плана раскроя.

7. Подсчитывается сумма индексов для каждого варианта.

Условие оптимальности раскроя: наличие вариантов раскроя в количестве равном числу видов заготовок с наибольшей и равной между собой суммой индексов.

8. Из системы уравнений определяются оптимальные значения.

9. Решение проверяется.

3). Задача размещения баз снабжения оптово-торговых предприятий.

Эта модель предусматривает минимизацию суммарных затрат на доставку продукции от проектируемых баз снабжения до существующих предприятий-потребителей и затрат на эксплуатацию указанных баз.

Целевая функция:

Ограничения:

где

1, 2, …. i … m – возможные пункты размещения баз;

1, 2, …. j … n – существующие пункты расположения потребителей;

С_ij – стоимость перевозки единицы продукции от i-й базы до j-го потребителя;

b_j – годовой объем потребления j-го потребителя;

х_ij – объем поставок с i-ой базы j-му потребителю;

f(х) – затраты на эксплуатацию базы как функция от мощности базы хi.

4). Оптимизация состава смеси.

Здесь очень сложно на математическом языке объяснить, поэтому просто приведу пример задачи и решения.

Для изготовления сплава из меди, олова и цинка в качестве сырья используют два других сплава тех же металлов, но отличающихся составом и стоимостью. Данные об этих сплавах приведены в таблице:

Полученный в итоге сплав должен содержать не более 2 кг меди, не менее 3 кг олова, а содержание цинка может составлять от 7, 2 до 12, 8 кг.

Определить количества x_j, j = 1, 2 первичных сплавов каждого вида, обеспечивающие получение нового сплава с минимальными затратами на сырье. Эта задача математически формулируется следующим образом.

Требуется найти минимум функции:

F = 5·x₁ + 4·x₂, (6.1)

При следующих ограничениях:

(6.2)

Здесь неравенства описывают ограничения, накладываемые на количество того или иного металла в полученном сплаве.

Можно решить эту задачу графически. На графике прямые линии, соответствующие неравенствам (6.2), обозначены цифрами 1, 2, 3, 4.

Допустимой областью здесь является пятиугольник PQRST.

Целевая функция F (6.1) убывает в направлении вектора

Минимальное значение этой функции достигается в точке Р с координатами х₁ =2, х₂ = 9, 333 и равно 47, 333. При этом точка Р, являющаяся оптимальным решением задачи (6.1), (6.2), есть вершина допустимой области PQRST.