Рациональный выбор потребителя

Использование математического аппарата позволяет получать интересные интерпретации многих базовых понятий в теории потребления и в целом в микроэкономике.

Итак, будем считать, что каждый потребитель может определить свою функцию полезности – формулу, которая связывает величину общей полезности с набором благ. Например, предположим, Анна имеет функцию полезности относительно клубники (Х) и молока (У) следующего вида:

Предельная полезность блага Х (клубники) для Анны можно определить, применяя дифференциальное исчисление. Предельная полезность показывает, как изменится общая полезность Анны при увеличении потребления блага Х (клубники) на бесконечно малую величину, при условии, что объем потребления других благ остался без изменения:

Предельная полезность блага У (молока) определяется аналогично:

Предельная норма замещения может быть определена по формуле:

Если U = U(х, y), то изменение общей полезности при изменении х и у можно записать формулой:

dU = МU_хd_x + МU_yd_y

Рассматривая кривую безразличия, отмечаем, что движение вдоль нее определяет dU = 0.

Тогда О = МU_хd_x + МU_yd_y,

Минус перед отношением показывает, что кривая безразличия имеет отрицательный наклон.

Равновесный набор потребителя – это набор благ, который максимизирует значение функции полезности данного потребителя при имеющемся у него бюджете. Использование метода Лагранжа для решения этой задачи состоит в выполнении следующих этапов:

1. Записывается выражение Лагранжа.

Записывается функция полезности, которую нужно максимизировать плюс бюджетное ограничение, умноженное на l.

Z = U (х, y) + l (I – Р_x ∙ x – Р_y ∙ y),

где I – доход потребителя;

Р_x, Р_у – цены благ х и у;

I = Р_x ∙ x + Р_у ∙ y – бюджетное ограничение;

l – предельная полезность дохода (I), то есть дополнительная полезность, которую приносит дополнительный рубль:

2. Выражение Лагранжа дифференцируется по отношению к х, y, l. Полученные производные приравниваются к нулю.

Эти уравнения можно записать в виде:

МU_х = lP_х

МU_y = lP_y

P_x ∙ x + P_y ∙ y = I

3. Полученная система уравнений решается для х, y, l, а x и у представляют собой набор благ, максимизирующий полезность потребителя.

Пример

Анна имеет функцию полезности U(х, y) = x^3/4 ∙ y^1/4, I = 100, Р_x = 1, Р_y = 2. Тогда:

1. Выражение Лагранжа:

Z = x^3/4 ∙ y^1/4 + l (100 – 4 ∙ x – 2 ∙ y)

2. Дифференцируем выражение Лагранжа и приравниваем к нулю, полученные производные:

(*)

(**)

100 = 4х + 2у (***)

3. Решение системы уравнений.

Уравнение (*) делим на уравнение (**)

Полученное значение х подставляем в уравнение (***):

100 = 6y + 2y = 8y

Результаты полученных вычислений можно представить графически (рис. 2.1).

Рис. 2.1

При степенной функции полезности кривая спроса на благо для потребителя может быть получена на основе выражения Лагранжа:

– функция спроса на благо х

– функция спроса на благо у

Вопросы

1. Какой угол наклона у кривых спроса х и у?

2. Являются блага х и у нормальными или низкого качества?

3. Блага х и у являются заменителями или совершенными субститутами?