Методика изучения темы

«Параллельность и перпендиулярность прямых и плоскостей»

Слайд 1, 2

Цели:

· изучение взаимного положения прямых, плоскостей, прямой и плоскости, перпендикулярности на плоскости и в пространстве и сопутствующих этим темам вопросов;

· актуализация и обобщение опыта ученика, включение этого опыта в процесс изучения данной темы;

· обоснование известных ученикам свойств фигур (квадрата, куба и др.), изучение связанных с отношениями параллельности и перпендикулярности новых свойств известных фигур, а также новых фигур (например, паралелограмма и параллелепипеда);

· развитие образного и логического мышления;

· знакомство с историей геометрии как науки;

· введение правил изображения пространственных фигур на плоскости;

· реализация внутрипредметных и межпредметных связей.

Вопрос о взаимном расположении фигур на плоскости и в пространстве является основным вопросом, изучаемым в геометрии. Поэтому в школьном курсе этому вопросу уделяется большое внимание.

Знакомство со взаимным расположением прямых на плоскости начинается при изучении матемтематики в 5-6 классах. Рассмотрим подробнее изучение данной темы в пропедевтическом курсе на примере учебников математики для 5 и 6 классов Наума Яковлевича Виленкина.

Слайд 3

В 5 классе автор знакомит учеников с прямым углом при изучении темы «Угол. Прямой и развернутый угол. Чертежный треугольник» и определяет его как половину развернутого угла.

Слайд 4

С понятием же перпендикулярных и параллельных прямых ученики знакомятся уже в 6 классе при изучении темы «Координаты на плоскости».

Определение. Две прямые, образующие при пересечении прямой угол, называют перпендикулярными.

Определение. Две непересекающиеся прямые на плоскости называются параллельными.

Слайд 5

Здесь же сформулированы 2 свойства:

· если две прямые в плоскости перпендикулярны третьей прямой, то они параллельны;

· через каждую точку плоскости, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной прямой.

В 5-6 классах ученики получают наглядное представление о параллельных и перпендикулярных прямых, учатся их распознавать и строить с помощью линейки и угольника.

Слайд 6 (демонстрация)

Пример методических материалов для 5-6 классов. ЦОР по теме «Перпендикулярные прямые»

Слайд 7

Систематическое изучение параллельности и перпендикулярности прямых начинается в курсе планиметрии в 7 классе.

Слайд 8

Определение. Две прямые на плоскости называется параллельными, если они не пересекаются (т.е.нет общих точек).

Следует обратить внимание на определение параллельных прямых в учебнике Погорелова, где сказано, что 2 прямые называются параллельными, если они не пересекаются. Такая формулировка возможна исходя из того, что в начале изучения геометрии все фигуры рассматриваются только на плоскости. Поэтому характерный признак параллельности 2-х прямых то, что они лежат в одной плоскости в данном случае опущен. Но в дальнейшем при переходе к изучению стереометрии необходимо ввести соответственные уточнения.

Различны трактовки и аксиомы параллельности в учебниках Погорелова и Атанасяна. В учебнике Погорелова аксиомы Параллельности сформулирована следующим образом.

Теорема: Через точку не лежащую на данной прямой можно провести на плоскости не более одной прямой параллельной данной.

Оборот “не более одной” означает либо одну, либо не одну. Поэтому в дальнейшем в теме “Сумма углов треугольников”, при изучении признака параллельности прямых, с учащимися рассматривается специальная задача, где доказывается существование прямой параллельной данной. После чего с учетом доказательной задачи и аксиомы параллельности делается вывод о том, что существует единственная прямая на плоскости, проходящая через заданную точку не лежащую на даннной прямой параллельная данной прямой.

В учебнике Атанасяна аксиома Параллельности прямых формулируется так:

Теорема: через точку не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая парллельная данной.

Дальнейшее изучение параллельных прямых связано с выявлением признаков параллельности прямых. Следует отметить, что с методической точки зрения изучения признака параллельности прямых более удачно изложено в учебнике Атанасяна, т.к. в учебнике Погорела два основных признака (по равенству накрестлежащих углов и когда сумма односторонних углов=180) сведены в одну теорему, при этом доказательство 2-ой части по сумме односторонних углов проведено не достаточно чётко и понятно для учащихся. В целом, в учебниках Погорелова и Атанасяна серьёзных методических отличий в изучении этих вопросов не существует.

Слайд 9

Определение перпендикулярных прямых в учебниках дается одинаково.

Определение. Две прямые называются перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом.

В учебнике Атанасяна следующим шагом является построение прямых углов на местности. А Погорелов сразу приводит теорему.

Теорема. Через каждую точку прямой можно провести перпендикулярную ей прямую, и только одну.

Теорема доказывается новым для учеников методом — методом от противного.

Слайд 10, 11

Пример методических материалов для 7 класса. Математический диктант

1. Сколько общих точек могут иметь две прямые?

2. Каково взаимное расположение двух прямых, перпендикулярных к одной прямой?

3. Могут ли оба внутренних односторонних угла при пересечении двух прямых третьей быть тупыми?

4. Дан параллелограмм. Могут ли быть параллельными прямые ВС и АВ?

5.

Слайд 12

Тема «Перпендикулярность в пространстве» имеет важное значение для всего курса математики, так как в ней задается метрика в пространстве, которая позволяет вычислять расстояния и углы.

Материал главы широко используется при изучении последующих разделов курса, поэтому имеется возможность для дальнейшего его закрепления и углубления. Вместе с тем изучение этого раздела стереометрии требует постоянного и сознательного использования многих сведений из планиметрии. А также есть возможность организовать повторение недавно пройденной темы «Параллельность в пространстве», так как этот материал широко используется при доказательстве теорем и решении задач в исследуемой главе.

Основные определения и теоремы по данной теме в учебниках Атанасяна и Погорелова идентичны.

Рассмотрим, как изучается тема «Параллельность плоскостей» в учебнике геометрии для 10-11 классов Алексея Васильевича Погорелова.

Слайд

Тема начинается с определения параллельных плоскостей, следом приводится теорема — признак параллельности плоскостей. Слайд Затем рассматривается и доказывается теорема о существовании плоскости, параллельной данной плоскости, и доказывается ее единственность. Слайд В завершении параграфа приводятся свойства параллельных плоскостей.

Теорема: признак перпендикулярности прямой и плоскости. Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна данной плоскости.

Теорема о трех перпендикулярах. Если прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна ее проекции, то она перпендикулярна наклонной.

Теорема: признак перпендикулярности плоскостей. Если плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.

Слайды

Тема «Параллельность и перпендикулярность прямых и плоскостей» носит большой прикладной характер. Изучение взаимного расположения прямых и плоскостей в пространстве сопровождается решением большого количества задач, поэтому при изучении данной темы продолжается развитие пространственных представлений учащихся, конструктивных навыков изображения фигур на плоскости, навыков выполнения рисунков, их правильного восприятия и чтения.

В ходе изучения темы обобщаются и систематизируются знания учащихся о перпендикулярности прямых, перпендикуляре и наклонной, известные им из курса планиметрии. Постоянное обращение к знакомому материалу будет способствовать более глубокому усвоению темы. Постоянное обращение к теоремам, свойствам и признакам курса планиметрии при решении задач изучаемой темы не только будет способствовать выработке умения решать стереометрические задачи по данной тематике, но и послужит хорошей пропедевтикой к изучению следующих тем курса.

Слайд

Пример методических материалов для 10 класса. Задача на слайде.