Решение. 1. Анализ задания: точка М совершает сложное движение, так как она движется по пластине вдоль прямой BD и вместе с пластиной

1. Анализ задания: точка М совершает сложное движение, так как она движется по пластине вдоль прямой BD и вместе с пластиной, вращающейся вокруг неподвижной оси, перпендикулярной плоскости пластины.

2. Выберем две системы координат: неподвижную с началом координат в точке О₁ и подвижную с началом координат в точке М:

- абсолютное движение точки М – её движение относительно неподвижной системы координат O₁X₁Y₁;

- относительное движение точки М – её движение относительно подвижной системы координат ОXY, то есть движение точки по прямой BD; траекторией является прямая;

- переносное движение – движение подвижной системы координат относительно неподвижной, то есть вращение пластины относительно оси, ей перпендикулярной.

3. Положение точки на прямой BD определяется расстоянием s=AM=18sin(π t/4) см, при t₁=2/3 с, s=AM= 9 см.

4. Абсолютную скорость точки М найдем как геометрическую сумму относительной и переносной скоростей: .

5. Относительная скорость точки М равна (см/c), при t₁=2/3 с V_r = 12, 24 (см/c). Вектор относительной скорости направлен в сторону возрастания s, так как V_r › 0.

6. Определим переносную скорость точки М, мысленно остановив движение точки по прямой BD. В переносном движении точка М описывает окружность радиуса R= ОМ:

, при t₁=2/3 с

Вектор переносной скорости направлен по касательной к окружности в сторону вращения пластины.

7. Найдем модуль абсолютной скорости по формуле: , где

V_x=V_e - V_r∙ cosβ =69, 82-12, 24·0, 95=58, 17 (см/c);

V_y= - V_r∙ sinβ = - 12, 24∙ 0, 31=-3, 73(см/c);

V=58, 29 (см/c).

8. Абсолютное ускорение точки равно геометрической сумме относительного, переносного ускорений и ускорения Кориолиса:

или .

9. Для определения относительного ускорения точки М мысленно остановим подвижную систему координат и вычислим относительное касательное ускорение: , при t₁=2/3 с

а^τ _r= -5, 55 (cм/c²).

Знак «минус» показывает, что вектор относительного касательного ускорения направлен в сторону отрицательных значений S: движение замедленное.

Относительное нормальное ускорение равно нулю, поскольку движение точки М вдоль BD – прямолинейное.

10. Переносное касательное ускорение определяем, мысленно остановив точку М в подвижной системе координат:

Знаки угловой скорости и углового ускорения переносного вращения одинаковы, и, следовательно, движение является ускоренным, направления векторов угловой скорости и углового ускорения совпадают. Векторы касательного ускорения и скорости в переносном движении направлены в одну сторону. Вектор нормального ускорения переносного вращательного движения направлен по радиусу к центру окружности, которую описывает тот

пункт подвижной системы координат, с которым совпадает точка М в данный момент времени.

11. Определяем модуль ускорения Кориолиса: , где α – угол между вектором относительной скорости и вектором угловой переносной скорости (оси вращения). В нашем случае это угол равен 90⁰, так как ось вращения перпендикулярна плоскости пластины, в которой расположен вектор относительной скорости. В момент времени t₁=2/3 с а_k = 32, 56 (cм/c²). Направление вектора ускорения Кориолиса находим по правилу Жуковского: так как вектор относительной скорости лежит в плоскости вращения, перпендикулярной оси вращения, то, повернув его на 90⁰ в направлении угловой переносной скорости, то есть против хода часовой стрелки, найдем направление вектора ускорения Кориолиса.

12. Модуль абсолютного ускорения точки М найдем, предварительно спроецировав обе части векторного равенства, представленного выше, на координатные оси:

Ответ: V=58, 29 см/c, a=316, 13 см/c².

Глава 5. ДИНАМИКА

5.1. Динамика точки. Дифференциальные уравнения движения точки. Основные задачи динамики