Теорема о циркуляции вектора .

Циркуляцией вектора по задан­ному замкнутому контуру L называется следующий интеграл по этому контуру:

где — элемент длины контура, направленный вдоль обхода контура; — составляющая вектора в направлении касательной к контуру, с учетом выбранного направления обхода; α — угол между векторами и .

Теорема о циркуляции вектора (закон полного магнитного поля в вакууме): циркуляция вектора по произвольному замкнутому контуру равна произведению магнитной постоянной на алгебраическую сумму токов, охватываемых этим контуром:

где — число проводников с токами, охватываемых контуром L произвольной формы.

Эта теорема справедлива только для поля в вакууме, поскольку для поля в веществе надо учитывать молекулярные токи. Каждый ток учитывается столько раз, сколько он охватывается контуром. Положительным считается ток, направление которого связано с направлением обхода по контуру правилом правого винта.

Пример: магнитное поле прямого тока.

Замкнутый контур представим в виде окружности радиуса . В каждой точке этой окружности вектор одинаков по модулю и направлен по касательной к окружности:

, отсюда

Сравним выражения для циркуляции векторов .

,

Принципиальное различие между этими формулами в том, что циркуляция вектора электростатического поля всегда равна нулю. Такое поле является потенциальным. Циркуляция вектора магнитного поля не равна нулю. Такое поле называется вихревым или соленоидальным.

19. Магнитное поле соленоида.

Соленоидом называется свернутый в спираль изолированный проводник по которому течет электрический ток. Рассмотрим соленоид длиной l, имеющий N витков. Циркуляция вектора по замкнутому контуру ABCDA. охватывающему все N витков, равна

На участках АВ и CD контур перпендикулярен линиям магнитной индукции, следовательно В_i = 0. Можно показать, что вне бесконечного соленоида магнитное поле B = 0 (удалив участок СВ на бесконечность, где магнитное поле соленоида равно нулю, поскольку магнитное поле каждого витка соленоида уменьшается с расстоянием ). На участке DA контур совпадает с линией мапнитной индукции, внутри соленоида поле однородно ( ), поэтому

Магнитная индукция (бесконечного) соленоида в вакууме:

20. Магнитное поле тороида в вакууме.

Тороидом — называется кольцевая катушка с витками, намотанными на сердечник, имеющий форму тора, по которой течет ток.

Магнитное поле отсутствует вне тороида, а внутри его оно является однородным.

Линии магнитной индукции, как следует из соображений симметрии, есть окружности, центры которых расположены на оси тороида.

В качестве контура выберем одну такую окружность радиуса г. По теореме о циркуляции , где N —число витков тороида. Отсюда

21. Поток вектора магнитной индукции.

Потоком вектора магнитной индукции (магнитным потоком) через площадку dS называется скалярная физическая величина, равная

где — проекция вектора на направление нормали к площадке dS, α — угол между векторами и , — вектор, модуль которого равен dS, а направление совпадает с направлением нормали к площадке.

Поток вектора может быть как положительным, так и отрицательным в зависимости от знака .

Поток вектора связывают с контуром по которому течет ток. Положительное направление нормали к контуру связано с направлением тока по правилу правого винта. Поэтому магнитный поток, создаваемый контуром с током через поверхность, ограниченную им самим, всегда положителен

Поток вектора магнитной индукции через произвольную поверхность S:

Если поле однородно и перпендикулярно ему расположена плоская поверхность с площадью S, то

Единица магнитного потока — вебер (Вб): 1 Вб — магнитный поток, проходящий сквозь плоскую поверхность площадью 1м², расположенную перпендикулярно однородному магнитному полю, индукция которого равна 1Тл (1 Вб=1 Тл*м²).

22. Теорема Гаусса для магнитного поля в вакууме

Поток вектора магнитной индукции сквозь любую замкнутую поверхность равен нулю:

Эта теорема отражает факт отсутствия магнитных зарядов, вследствие чего линии магнитной индукции не имеют ни начала ни конца и являются замкнутыми.

23. Потокосцепление.

Магнитный поток через поверхность, ограниченную замкнутым контуром, называется потоносцеплением Ψ этого контура.

Потокосцепление контура, обусловленное магнитным полем тока в самом этом контуре, называется потокосцеплением самоиндукции.

Например, найдем потокосцепление самоиндукции соленоида с сердечником с магнитной проницаемостью μ. Магнитный поток сквозь один виток соленоида площадью S равен . Полный магнитный поток, сцепленный со всеми витками соленоида равен:

Потокосцепление контура, обусловленное магнитным полем тока, идущего в другом контуре, называется потокосцеплением взаимной индукци и этих двух контуров.

24. Работа по перемещению проводника с током в магнитном поле.

Проводник длиной l (он может свободно перемещаться) с током I находится в однородном магнитном поле (см. рисунок). Поле направлено перпендикулярно плоскости рисунка — из-за чертежа. Сила Ампера F=IBl.

Под ее действием проводник переместился из положения 1 в положение 2.

Работа, совершаемая магнитным полем:

Использованы соотношения:

— площадь, пересекаемая проводником при его перемещении в магнитном поле; — поток вектора магнитной индукции, пронизывающий эту площадь. Таким образом,

Работа по перемещению проводника с током в магнитном поле равна произведению силы тока на магнитный поток, пересеченный движущимся проводником.

25. Работа по перемещению контура с током в магнитном поле.

Магнитное поле направпено перпендикулярно плоскости рисунка — за чертеж. Работа dA сил Ампера при перемещении контура ABCDA равна сумме работ по перемещению проводников и , т.е.

При перемещении участка CDA силы Ампера направлены в сторону перемещения (образуют с направлением перемещения острые углы), поэтому > О

Силы, действующие на участок ABC контура, направлены против перемещения (образуют с направлением перемещения тупые углы), поэтому

В сумме

, или , или

Работа по перемещению замкнутого контура с током в магнитном поле равна произведению силы тока в контуре на изменение магнитного потока, сцепленного с контуром (или на его потокосцепление).