Предельный переход в неравенствах.

♦ Теорема 9.6. Если все элементы сходящейся последовательности , начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству , то и предел этой последовательности удовлетворяет неравенству .

Доказательство. Пусть при выполняется неравенство .

Предположим противное: пусть . Положим . При , но тогда , – получается противоречие (случай рассматривается аналогично). ■

☼ Замечание 9.4. Элементы сходящейся последовательности могут удовлетворять строгому неравенству , однако при этом может оказаться a=b. Например, если , то при получаем . ☼

Следствие 1. Если элементы и сходящихся последовательностей и , начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству , то их пределы удовлетворяют такому же неравенству: .

Действительно, если , то .

Следствие 2. Если все элементы сходящейся последовательности находятся на сегменте , то и её предел с также находится на этом сегменте.

Это очевидно: так как , то и .

♦ Теорема 9.7 (принцип двустороннего ограничения). Пусть и – две сходящиеся последовательности, имеющие общий предел a. Пусть, кроме того, все элементы третьей последовательности , по крайней мере начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству . Тогда последовательность сходится и имеет предел a.

Доказательство. Достаточно доказать, что бесконечно малая последовательность. Пусть – номер, начиная с которого выполняется неравенство .Тогда, начиная с , выполняется и неравенство . Отсюда следует, что при .Фиксируем . Тогда

Обозначим , тогда при . ■