Графический метод решения тригонометрических уравнений

Приведем примеры, применения графического метода решения тригонометрических уравнений и неравенств, который дает возможность определить корни намного проще, чем при аналитическом способе решения.

Пример 6. Решите уравнение: cos t = 2^{sin t} – 1.

Дополним уравнение тождеством sin t + cos t = 1 и рассмотрим систему двух уравнений:

Введём обозначения x = cos t, y = sin t и решим графически систему, состоящую из двух уравнений:

Рис. 8

Графическое решение системы показано на рис. 8. Проведя радиус-векторы точек пересечения единичной окружности с графиком y = log₂(x+1), получим:

α ₁ 48^°

α ₂ -117^°

t₁ = α ₁ + 360^°n t₁ = 48^° +360^°n

t₂ = α ₁ + 360^°n t₂ = -117^° + 360^°n, где n, k Z.

Пример 7. Решите уравнение: 8tg t – 4ctg² t – 4ctg t + 23 = 0.

Дополним уравнение тождеством ctg t · tg t = 1 и рассмотрим систему двух уравнений:

Введём обозначения x = ctg t, y = tg t и решим графически систему, состоящую из двух уравнений:

Преобразуем первое уравнение системы:

y = (x² + x - ) = ((x² +2∙ x∙ + ) - - ) = ((x + )² – 6) =

= (x + )² – 3.

Рис. 9

Графическое решение системы показано на рис. 9

По рис. 9 находим: α ₁ ≈ 25^°, α ₂ ≈ -20^°, α ₃ ≈ -71^°.С учетом периодичности: t₁ = 25^° + 360^°n; t₂ = -20^° + 360^°k; t₃ = -71^° + 360^°m, где n, k, m Z.