Метод конечных разностей

Обозначим узловые точки (1 – 5) в местах разбиения стержня на четыре элемента и введем законтурную точку 6 (рис.4).

₀

Рис. 4. Разбиение стержня на элементы

Запишем дифференциальное уравнение в конечно – разностной форме

(2.1.1)

Здесь введено обозначение

Запишем уравнения для всех внутренних точек, причем для крайней правой точки 5 запишем статической граничное условие через законтурную точку 6:

(2.1.3)

Выполним прямой ход, учитывая левое геометрическое граничное условие ():

Осуществим переход к нормальным усилиям с учетом размерностей для перемещений и усилий в точном решении при помощи соотношения

, (2.1.6)

где черта над u обозначает, что берутся только ее численные значения.

(2.1.7)

Воспользуемся соотношением, осуществляющим переход к усилиям с помощью дифференцирующей матрицы

(2.1.8)

Которое в раскрытом виде с учетом числа элементов () и размерностей, использованных для перемещений и усилий в точном решении, запишется так:

(2.1.9)

Результаты представим в виде таблицы 2 и графиков (рис. 5, 6).

Таблица 2

		0, 25	0, 5	0, 75
		0, 926	1, 676	2, 189	2, 39
(0)	(0, 913)	(1, 650)	(2, 148)	(2, 333)
	3, 704*	3*	2, 048*	0, 804*	-
4, 056**	3, 352**	2, 524**	1, 426**	0, 182**
(3, 937)	(3, 337)	(2, 514)	(1, 421)	(0)

(…) – точное решение; ^* - решение в рамках МКР; ^** - решение с помощью дифференцирующей матрицы.

Рис.5 Изменение перемещения по длине стержня (метод конечных разностей)

Рис.6 Изменение продольного усилия по длине стержня (метод конечных разностей)

2.2 Метод Бубнова – Галеркина.

Аппроксимирующую функцию для варианта В запишем в виде:

(2.2.1)

Дифференциальное уравнение имеет вид

Внесем аппроксимирующую функцию в дифференциальное уравнение

(2.2.2)

Умножим (2.2.2) почленно на и проинтегрируем от 0 до

(2.2.3)

В силу ортогональности

(2.2.4)

Возьмем остальные интегралы (берем интегралы по частям)

(2.2.5)

(2.2.6)

Внесем (2.2.4) – (2.2.6) в (2.2.3) и получим

(2.2.7)

Откуда

(2.2.8)

Выражение для перемещения приобретает вид:

(2.2.9)

Для усилия на основании равенства

Получаем следующее соотношение:

(2.2.10)

Программа для численной реализации (2.2.9) и (2.2.10):

Program BH;

uses crt;

Const

q=1.0; EA=1.0; l=1.0; m=4; mn=10;

Var

i, j, k: integer;

dx, x, nn, uu, un, p2, px, p, i2, ip2: real;

U, N: array [1..m+1] of real;

BEGIN

clrscr;

dx: =l/m;

nn: =q*l;

uu: = nn*l/EA;

writeln;

writeln('Результаты решения методом Бубнова-Галеркина');

writeln;

writeln ('Координата Перемещение Усилие');

for k: =1 to m+1 do begin

x: =dx*(k-1)/l;

U[k]: =0;

N[k]: =0;

for j: =1 to mn do begin

i: =2*j-1;

p: =i*pi;

p2: =p/2;

ip2: =2*sqr(p)/(4+sqr(p));

px: =p2*x;

un: =(ip2*(1-exp(1)*cos(p2)+2/p*exp(1)*sin(p2))-cos(p2)+2/p*sin(p2))/sqr(i);

N[k]: =N[k]+un*cos(px)*8/pi/pi;

U[k]: =U[k]+un*sin(px)/i*16/pi/pi/pi;

end;

writeln;

writeln('x=', x: 5: 2, 'U=', U[k]: 6: 3, 'N=', N[k]: 6: 3);

end;

readln;

END.

Результаты расчета при удержании 10 членов ряда представим в виде таблицы 3 и графиков (рис. 7, 8).

Таблица 3

		0, 25	0, 5	0, 75
		0, 913	1, 650	2, 148	2, 333
(0)	(0, 913)	(1, 650)	(2, 148)	(2, 333)
	3, 937	3, 337	2, 514	1, 421
(3, 896)	(3, 342)	(2, 515)	(1, 419)	(0)

(…) – точное решение.

Рис.7 Изменение перемещения по длине стержня (метод Бубнова – Галеркина, 10 членов ряда)

Рис.8 Изменение продольного усилия по длине стержня (метод Бубнова – Галеркина, 10 членов ряда)