Студопедия

Главная страница Случайная страница

КАТЕГОРИИ:

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника






Серпімді кернеу.




1.Деформацияланған дененің түрлі бір-бірімен шекаралас бөліктері өзара әсерлеседі. Қандай да бір деформацияланған денені немесе ортаны қарастырайық. Денені ойша 2 бөлікке бөлейік:АВ жазықтығында шектесетін дене І және дене ІІ .Дене І деформацияланатындықтан ол белгілі күшпен дене ІІ –ге әсер етеді .Тура осындай себептен дене ІІ –де сондай ,бірақ қарама-қарсы күшпен дене І-ге әсер етеді . Бірақ пайда болатын деформация- ны АВ қимасына әсер ететін күштердің қосындысын білу жеткіліксіз.Сонымен қатар бұл күштер осы қимада қалай таралатыны көрсетілуі тиіс. АВ жазықтығынан шексіз кіші dS ауданын бөліп алайық. dF-дене ІІ дене І –ге осы ауданда әсер ететін күш болсын. Бірлік ауданға тура елетін күш ,яғни кернеу деп аталады. Бұл жағдайда АВжазықтығының деғне І-дің шегарасында әсер ететін кернеу деп аталады. Осы нүктеде дене ІІ шегарасында әсер ететін кернеу тура осындай, бірақ бағыты қарама –қарсы болады.

 

197-сурет

 

2.dS ауданының бағытын оған нормаль жүргізу арқылы таңдауға болады.Нормальді dF күші әсер ететін дене жазықтығының сыртына қарай жүргіземіз. Нормальдің бірлік векторын n, ал сәйкес кернеуді деп белгілейміз . 1-ші сурет бойынша =

 

-декарт координатасында

 

 

 
 


— кернеулік тензоры

 

 

—нормальдық элементтер, қалғандары жанама элементтер.

 

-симетриялық тензор

Сонда дене І-мен шекаралас дене ІІ-нің АВ жазықтығындағы кернеу болады. Әсер менн қарсы әсер тең болғандықтан =

векторын n нормаль борйымен және dS ауданына жанма бойында жататын құраушыларға жіктеуге болады. Оның біріншісі нормаль, ал екіншісі – тангенциал құраушы деп аталады. Кез келген вектор сияқты кернеуін Х,У,Z координаттар системасының осьтері бойынша сипаттауға болады. Бұл құраушыларды сәйкесінше болады.Бірінші индекс дене бетінің сыртқы нормальдің бағытын, ал екіншісі - векторы проекцияланатын осьтің бағытын көрсетеді. Сәйкесінше сыртқы нормалі х осінің бағытына аудандағы параллель бағытты көрсетеді .



3. Кернеудің опртаның бір нүктесіндегі бағытын анықтау үшін осы нүкте арқылы өтетін өзара перпендикуляр аудандағы бағыттарды анықтасақ болғаны. Бұл тыныштықта тұрған ортаға да, белгілі үдеумен қозғалып бара жатқан ортаға орындалады. Мұны дәлелдеу үшін қарастырылып отырған нүктеге координаттар басын орналастырамыз және одан шексіз кіші ОАВС көлемді координаттар жазықтықтарымен шектесетін және АВС жазықтығымен қиылып өтетін элемент бөліп алайық.

2-ші сурет бойынша тұтас дененің формасы көрсетілген .Оның төрт беті бар. Егер АВС бетіне -кернеу әсер етсе онда бұл тұтас көлемнің қозғалысы мынадай

f+ -

f-тұтас ортаға әсар етуші массалық күш.

Массалық күш (ауырлық) тағы басқа концервативті күштер болуы мүмкін.

-АВС бетіне нормаль бағытымен бағыттас.

а=0

f=0

=0

 

n-АВС -ның жазықтығына жүргізілген сыртқы жанамасы. Сонда АСВ бетіндегі бөліп алынған элементі сыртқы ортадан әсер ететін күші болады, мұндағы S беттің ауданы. Сәйкесінше үш бүйір бетке әсер ететін күштер



 

 

 
 

 


198-сурет.

 

болады. Мұндағы осы беттердің ауданы. Бұл күштерден басқа осы бөліп алынған элементке массалық немесе көлемдік күштер әсер етуі мүмкін.Мысалы, ауырлық күші. Барлық әсер етуші күштердің қорытқы күшін деп белгілейік.

күші бөліп алынған элементтің көлеміне пропорционал. Егер элемент массасы m ал үдеуі болса, онда

Бұл жерде түрлендірулер жүргізейік, OABC элементін нүктеге дейін кішірейтейік. Мұндай жағдайда өрнектің және f мүшелерін алып тастауға болады. Олар OABC элементінің көлеміне пропорционал. Өрнектің басқа мүшелерімен салыстырғанды олар жоғары дәрежеде шексіз кіші болады. S ауданның координата жазықтығына проекциясы былай анықталады:

 

Сонымен қатар болатындығын ескереміз. Сонда нәтижесінде мынаны аламыз:

X,Y,Z өз қалауымыз бойынша таңдауымызға болатындықтан теорема дәлелденді.

Осылайша серпімді деформацияланған дененің кернеуін векторлары арқылы немесе олардың тоғыз проекциялары түсіндіруге болады:

Осы тоғыз шаманың жиынтығы серпімді кернеудің тензоры деп аталады. Бұл шамалар ортаның бір нүктеден екінші нүктесіне өткенде өзгереді, яғни координаттар функциясы болып табылады. Егер массалық күш әсер етпейтін болса ғана кернеу ортаның барлық нүктелерінде бірдей болады.

4. Серпімді кернеудің тензоры симметриялық тензор болып табылады, яғни

Мұны дәлелдеу үшін заттан қабарғалары элементар параллелепипедті бөліп алайық. Параллелепипеке әсер ететін өсіне қатысты күш моменті мынаған тең:

3-ші сурет бойынша z осіне байланысты параллелепипедтің айналу моменті тензорлардың жанама элементтеріне тікелей байланысты .

 

 
 

 


теңдіктің оң жағындағы шама теңдіктің сол жағындағы шамадан тез нольге айналады.Осы теңдіктен біз керну тензорының симметрия болатынына көзіміз жетеді.

Мұндағы және өсіне қатысты инерция моменті және бұрыштық жылдамдық. Бірақ инерция моменті масса мен параллелепипедтің сызықтық өлшемдерінің квадратына көбейтіндісіне пропорционал болады, яғни параллелепипед көлемімен салыстырғанда жоғары дәрежедегі шексіз кіші шама болады. Егер параллелепипедті нүктеге дейін кішірейтсек, онда теңдіктің оң бөлігі сол бөлігіне қарағанда ертерек нольге айналады. Нәтижесінде аламыз. Сәйкесінше және болады.

5.X,Y,Z координаттар системасын серпімді кернеудің тензорының барлық диагональ емес элементтері нольге тең болатындай етіп таңдап алуға болады, яғни егер мұны дәлелдеу қажат емес, себебі серпімді кернеудің тензоры симметриялы болады. Осылайша осы нүктедегі серпімді кернеу үш шамамен сипатталады. Оларды деп белгілеуге де болады. Оларға сәйкес келетін координата осьтері тензордың бас осьтері деп аталады.

 


mylektsii.ru - Мои Лекции - 2015-2018 год. (0.012 сек.)Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав Пожаловаться на материал