Скорость и ускорение

Рассмотрим движение материальной точки из положения А в положение В вдоль произвольной траектории (рис. 1.3). Положения материальной точки в начальный и конечный момент времени определяются радиус-векторами и ; за время материальная точка проходит путь и получает приращение радиус-вектора – вектор перемещения.

Рис. 1.3

Среднюю скорость можно определить как

(1.3)

В случае малого промежутка времени (), получаем выражение для мгновенной скорости

(1.4)

Математически понятие мгновенной скорости совпадает с определением производной (или иначе: физический смысл понятия производной есть мгновенная скорость)

(1.5)

Скорость – векторная величина, направление которой определяется касательной к траектории в данной точке. Для вектора скорости справедливо векторное сложение.

(1.6)

Например, такое часто наблюдается в строительстве. Так, автомобильный кран, имеющий выдвижную стрелу, поднимает груз. При этом стрела, находясь под углом, выдвигается и еще вращается вокруг вертикальной оси. Груз участвует в трех движениях и обладает, соответственно, скоростями: вверх - , вдоль оси стрелы - и окружной скоростью . Результирующая скорость будет:

Часто на практике используется средняя скорость.

– средняя скорость (1.7)

При достаточно малом промежутке времени имеем

– мгновенная скорость (1.8)

Физическая величина, характеризующая быстроту изменения скорости по величине и по направлению при неравномерном движении, называется ускорением. Если за промежуток времени скорость изменилась на , то

–среднее ускорение (1.9)

– мгновенное ускорение (1.10)

Пусть материальная точка движется по криволинейной траектории со скоростью , которая изменяется по величине и по направлению (рис. 1.4). За время точка переместилась из положения А в положение В и прошла путь , равный дуге АВ. За это время материальная точка приобрела скорость . Переместив вектор в положение А, определим приращение скорости на пути АВ; оно будет равно .

Рис. 1.4

Разложим на составляющие и , совпадающий с .

– характеризует изменение скорости по направлению;

– характеризует изменение скорости по величине:

= + (1.11)

Ускорение будет равно

(1.12)

– полное ускорение, состоящее из двух компонент.

– тангенциальное (или касательное) ускорение, характеризующее изменение скорости по модулю за время . Это означает, что тангенциальное ускорение есть производная от скорости по времени.

(1.13)

Тангенциальное ускорение – векторная величина, направленная в сторону вектора скорости.

Определим составляющую .

Эта составляющая характеризует изменение скорости по направлению и называется нормальным ускорением

(1.14)

При точка А близка к точке В. В этом случае путь можно считать дугой окружности радиуса R. При этом дуга мало отличается от хорды АВ. Треугольники АОB и АСD подобны, как равнобедренные.

Отсюда следует, что

(1.15)

При , , но так как , то

(1.16)

и получаем

(1.17)

Нормальное ускорение также называют центростремительным ускорением. Оно направлено по нормали к касательной к центру кривизны траектории.

Полное ускорение есть геометрическая сумма тангенциальной и нормальной составляющих (рис. 1.5):

(1.18)

При имеем .

Рис. 1.5

В зависимости от и движение можно классифицировать следующим образом:

1. , – движение прямолинейное равномерное;

2. , – движение прямолинейное ускоренное;

3. , , – равномерное движение по окружности.

Движение по криволинейной траектории можно представить как прямолинейное движение и движение по окружностям разных радиусов (рис. 1.6)

Рис. 1.6

1.4. Движение материальной точки
по окружности

Если материальная точка движется по окружности, то ее движение иногда удобнее oписывать не линейными величинами S, , a, а угловыми: углом поворота φ, угловой скоростью ω и угловым ускорением e.

Рассмотрим движение точки по окружности радиуса R (рис. 1.7) Пусть через промежуток времени положение точки определяется углом поворота .

Рис. 1.7

– средняя угловая скорость

– мгновенная угловая скорость.

Угловая скорость – величина векторная. Модуль вектора угловой скорости равен значению угловой скорости ω, а его направление связано с осью вращения (где – единичный вектор вдоль оси вращения) и определяется по правилу правого винта: направление поступательного движения винта совпадает с направлением вектора угловой скорости (см. рис. 1.8).

Размерность угловой скорости [ ω ] = рад/с, ([ ω ] = с^-1).

Для малого угла Δ φ установим связь между линейной и угловой скоростями.

(1.19)

(1.20)

В векторной форме

Рис. 1.8

При равномерном вращении ()

Τ – период вращения – время одного полного оборота точки,

n – частота вращения – количество оборотов в единицу времени;

При неравномерном вращении ()

– среднее угловое ускорение

– мгновенное угловое ускорение

Угловое ускорение – величина векторная , где – единичный вектор, совпадающий с направлением оси вращения.

Если , вектор углового ускорения совпадает с направлением вектора угловой скорости – вращение равноускоренное;

Если , вектор углового ускорения направлен противоположно вектору угловой скорости – вращение равнозамедленное.

Размерность углового ускорения [ e ] = рад/с², ([ e ]= с^-2).

Установим связь между линейным и угловым ускорениями.

Так как , то , .

Законы движения точки (тела) по окружности аналогичны законам поступательного движения. Уравнение вращательного движения можно вывести из уравнений поступательного движения, заменив путь S углом поворота φ, скорость u – угловой скоростью ω, ускорение а – угловым ускорением ε.

Например,

®

®