Количество степеней свободы тел и механической системы. Обобщенные координаты.

Рассмотрим голономную механическую систему. Точки механической системы при совершении ею возможных перемещений получают перемещения аналогичные показанным на рис. 4.1. Подставим координаты каждой точки системы М_i и концов векторов возможных перемещений и в уравнения связей (4.6). Так как возможные перемещения удовлетворяют связям, то в результате таких подстановок эти уравнения будут выполнены. Запишем для первого возможного перемещения j -е уравнение связи после подстановки в него координат точек механической системы. Получим

, (4.10)

где – радиусы-векторы точек механической системы в момент времени t, – радиусы-векторы возможного перемещения точек системы в результате первого возможного перемещения. Разложим (4.10) в ряд Тейлора в окрестности невозмущенного положения системы. Членами более высоких порядков, чем линейные, пренебрежем. Запишем

(4.11)

Выражение (4.11) в силу (4.10) равно нулю, первое слагаемое в правой части в силу (4.6) также равно нулю. Учтем это, тогда получим для всех уравнений связей

. (4.12)

Совершенно аналогично для второго возможного перемещения можно проделать аналогичные выкладки и записать

. (4.13)

Последние слагаемые в соответствующих выражениях для первого (4.12) и второго (4.13) возможных перемещений суть одно и то же. Вычтем выражения (2.12) из выражений (2.3). Получим

.(4.14)

Выражения в квадратных скобках есть не что иное, как виртуальные перемещения точек механической системы

. (4.15)

Поэтому лучше переписать (4.14) через них

(4.16)

а все формулы (4.14), или, что, то же самое, (4.16), есть система линейных алгебраических уравнений относительно вариаций координат точек механической системы (4.15), выражающих виртуальное перемещение системы.

Из полученных результатов следует несколько важных выводов:

1. операция варьирования функций координат точек механической системы (4.16) совпадает с операцией дифференцирования (4.12) или (4.13), за исключением слагаемого, содержащего явно время;

2. для стационарных связей этого слагаемого не будет с самого начала, поэтому для таких связей, говорят, что множества возможных и виртуальных перемещений совпадают;

3. вариации декартовых координат точек механической системы в виду наложенных связей не являются независимыми, из уравнений (4.16) часть из них (l) может быть выражена через другую часть (3N-l), для этого матрица системы (4.16), которая называется Якобианом, должна иметь ранг, равный l

; (4.17)

4. в таких случаях говорят, что механическая система имеет s=3N-l степеней свободы;

5. зачастую вместо 3N декартовых координат для характеристики положения механической системы, используют s=3N-l каких-то других параметров, однозначно определяющих ее положение.

Для дальнейшего введем некоторые понятия.

Совокупность независимых между собой параметров, имеющих любую физическую или геометрическую природу, однозначно определяющих положение механической системы, называется обобщенными координатами.

Числом степеней свободы (ЧСС) системы называется число независимых виртуальных перемещений, которое имеет механическая система в данном положении.

Вместо подсчета числа степеней свободы по формуле s=3N-l обычно поступают иначе. Считают, сколько надо дополнительно наложить простых связей (ликвидирующих у системы одно простое движение – поступательное или вращательное), чтобы система перестала двигаться. Этот результат и даст число степеней свободы исходной механической системы. Иными словами для подсчета числа степеней свободы голономной системы надо:

1. представить МС в движении,

2. сделать мысленную остановку одно простого движения (поступательного или вращательного), при этом сложные движения твердых тел представляются совокупностью простых – поступательное состоит и двух взаимно перпендикулярных прямолинейных движений в плоском случае, и трех ‑ в пространственном, плоско-параллельное ‑ из поступательного и вращательного, сферическое из трех вращательных, пространственное – из поступательного и сферического,

3. если система в результате остановки простого движения остановится, то она имеет одну степень свободы, если нет, повторяем п.2,

4. число потребовавшихся таких мысленных остановок и даст ЧСС s.

В дальнейшем ЧСС будем обозначать буквой s, а совокупность обобщенных координат – вектором .