Сущность корреляционной модели (КМ), классификация КМ

Первая инфо о корр. модели появилась в 1840 г. Юстас Либих впервые описал формир-е урож-ти: y=ao+ax х – внесенные удобрения, у – урожайность, ao- урожайность, кот. не зависти от удобрения. Позже предложили множество видов эконометрической модели. Эконометрич. (корр.) модель – математическое выражение типа у_х = a_o + a₁x₁, кот. показывает взаимосвязь результ-го и одного или нескольких факторных пок-лей. Модель объясняет, на сколько единиц изменяется результативный пок-ль, если факто-рные изменяются на единицу. Корр. модель более точная, эконометрическая т.к. окупаемость факторов в модели усреднена, а на самом деле окупаемость колеблется. Понятие эконометрич. модели претендует на функциональную связь, чего нет в реальной ситуации. Простейшая КМ однофакторная линейная yx=ao+a1x1, где ух – результативный показатель, зависящий от факторных, х1 – фактор кот. изменяется в пределах от min до max величины. x₁^min < = х ₁< = x₁ ^max , a₁ – коэфф. регрессии или эфф-сти фактора, показ. на сколько ед. при знаке «+» увелич.-ся или при «-»уменьш. результ-ый пок-ль при уменьшении факторного, т.е. х₁ на 1, а₀ - свободный член, показывает или выражает влияние неучтенных фаторов. Линейная многофакторная модель имеет вид: у_х = a_o+a₁х₁+а₂х₂+...+а_nх_n. Модель действительно устойчиво реальна при x_j ^min < =x_j < =x_j ^max Если показатель степени отличен от +1, модель – не линейная: у_х = а₀ + а₁/х = а₀ + а₁х^-1 или степенная: у_х = а ₀х^а1 многофакторная, не линейная: у_х = а₀х₁^а1х₂^а2…х_n^аn.

19. Сущность и содержание этапов построения корреляционной модели

1. ЭТАП Выбор результативного и факторного показателей.

Явл-ся наиб. сложным, тк отсутствует матем. выраж-я, кот. позволяли бы получить без-ошибочный ответ. В основе вып-ия этапа лежат причинно-следственные связи или сущ-ность объектов, процессов по особенностям функц-ия. Основными полож-ми, кот. след. руководствоваться при выполнении этапа: 1.1 Рез-ный пок-ль цепочки причинно-следсв-х связей всегда нах-ся на более высоком ур-не. Он опред-ся на основе лог-их рассуждений о том, какие пок-ли явл. первичными и вторичными. Напр., себест-ть – у (результ-ый), урож-сть – х (факторный), вместе с ним в зависимости от процесса по кот. строим модель один и тот же пок-ль м.б. рез-ым так и факторным(урож-ть—у, удобр-я—х). 1.2 Состав и числ-ть факторов корр. модели зависит от качеств. модели процесса, объекта, по кот. строим модель. Напр, У – стоимость вал. прод-ции, х₁ – живой труд среднегод. рабоч. х₂ - прошлый труд осн. производств. фонды. х3 – обор. фонды, х4 – с/х угодия, х5 – их балл. Расшифровка классич. модели формирует вновь создание продукта, кот. опред-ет 5 факторов корр. модели. Х6 – оплата среднегодового рабочего, х7- энергетич. мощности (лошад. сил) 1.3 При выборе факторов следует уч-ать новые процессы, кот. могут оказать влияние на изменение результ-го пок-ля (х8 – услуги с\х техники, х9 - с\х химии) 1.4. Если рез-ый показатель сложный и комплексный, абсолютный, то и факторные пок-ли сложные, абсолютные. Примеч. – в усл-ях инфляции стоимостные пок-ли стоит переводить в у.е. 1.5 Если рез-ный пок-ль относительный, то факторные тоже относ-е. 1.6. На формир-ния рез-ого пок-ля оказы-вает влияние кол-ые и кач-ые признаки. Если числ-ть раб-ков больше оптимальной, то окупаемость труда сниж-ся, если в составе обор. фондов стоимость кормов больше оптим-й, оптим-ть всех обор. фондов возрастает. Если в составе сложного пок-ля пара-метр превышает мин., то для оценки нов. качества вводим доп. фактор. Если в составе производственных затрат ст-ть кормов > 29%, то вводим х10— ст-сть кормов сверх мин. Применительно к модели: новые кач-е признаки могут быть альтернативными(хоз-во принадл. агрофирме или нет) или нарастающими(изменяются от какой-то величины и возрастают).

2 ЭТАП. Сбор инфо. Проверка на достоверность. При построении КМ число мин данных д.б. не менее 20 (n> =20) Если модель многофакторная, то число данных д.б. не менее чем n> =2, 5k, к – число факторов включая рез-ый. Чтобы параметры модели отличались устойчивостью, могли исп-ся при анализе и планир-ии, необх. чтобы стат-ие данные отвечали требованию ЗНР (закону норм. распр-ия) Сущность ЗНР в том что: вероятность появления знач-я фактора х возрастает по мере приближения его величии-ны слева или справа к среднеарифмет. P(x) = (1/σ _х* √ − ­­­(2π))*е ^{– (xi-хср) 2/2*σ х 2}.Чтобы проверить какие данные нарушают треб-я ЗНР – исп-ют ассиметрию и эксцесс. Ассиметрия: А = ∑ (хi – хср)³/nσ _х3—Характ-ет сост-е фигуры вероятности по горизонтали, если фигура смешена вправо, то A> 0, влево - A< 0. Эксцесс: Э = (∑ (xi-xср)⁴/nσ _х⁴) – 3 характеризует состояние фигуры по вертикали. Если фигуры вероятности островерха, то Э< 0. Информация идеальна, не содержит ошибок, четко выражает свойственные ей закономерности => A=0 Э=0. Данные в большинстве содержат ошибки с разными знаками, n→ ∞ Отриц. ошибки покрываются полож-ми. Т.к. любая инф-я содержит ошибки, надо выявить при каких знач-х A и Э < > 0. Можно считать, что инфо отвечает ЗНР., т.е. не влияет на ее устойчивость. |A< =3σ a| - 3 ошибки, |Э< =5σ э| 5 ошибок. При этом ошибка А и Э зависит от 1 параметра – числа данных σ а, σ э=f(n).σ а=√ 6/n, σ э=√ 24/n. Во многих случаях или А или Э или то и другое выходит за допустимые приделы, такое если среди вектор-столбцов (у, х1, х2, …хn) есть наим. и наиб. Знач-е. Знач-е принадлежит вектор-столбцам, если согласно з-ну 3-х сигм величина отклонения не > по модулю утроенное среднеквадратич. отклонение. |уi-у ср.< =3σ у|, |хi-х ср.< =3σ х|, σ у = √ (∑ (yi- y ср)² /n) = √ (y² ср – (y ср)²).

3этап: Выбор вида КМ. Вид КМ опр. 2 способами: аналитический и графический. И в том и в другом случае важны значения по особенностям формир-я рез-го пок-ля.Напр. при увелич. внесения удобрений урож-ть возрастает, детальные иссл-ия уточняют, что после опр. нормы приращения урож-ти на ед. удобрений снижается. Вывод: внесение удобрений с т. зр. теорий влияет на изменение урожайности нелинейно. Наиболее простой способ графический. Допустим, что результ-й пок-ль зависит от n-факторов, строим граф. взаимосвязи результ-го пок-ля с каждым из факторов. (график)

Откладываем пары чисел, и получаем корреляц-ое поле. Складываем точки и получаем связь, проводим прямую. Если при увелич. фактора результ-ый пок-ль возр. в коррел-ой модели, тоYX2 Корреляционное поле не определено—означает, что фактор может влиять как линейно, так и нелинейно, принимаем в том случае более легко интерпретируемую связь, т.е.линейную. этот фактор учитываем линейно: Yx=a0+a1x1, a0-всегда присутствует в модели, т. к. есть всегда какие-то факторы которые мы не учтём. (график) Если корр. поле неопределённо, то фактор учитываем в модели линейно ух=ао+a1х1+а2x2

YX3 — взаимосвязь нелинейная. Если корр. поле нелинейно, то этот фактор учитываем в выражении с этим фактором в первой степени и в степени отличной от единицы: ух=ао+a1х1+а2x2+a3x3 (график) Если факторов> 3, то и для всех остальных из них будет характерна одна из трёх приведенных связей: линейная, неопр. или нелинейная. ух=ао+a1х1+а2x2+a3x3+a4x3^k(К неравно 1)

Аналитический способ:

Допустим, чо взаимосвязь у и х линейная: Ух=а0+а1х, или что в многофакторной линейной модели отдельные из них будут влиять на изм. результативного линейно.

Пусть х изменяется от х1 до xn(n-объект, а не фактор), то у1=а0+а1х1, у2=а0+а1х2, у3=а0+а1х3, у4=а0+а1х4. Вычтем из каждого предыдущего следующее: у1-у2=а0+а1х1+а0-а1х2=а1(х1-х2), у2-у3=а1(х2-х3), у3-у4=а1(х3-х4), Поделим левую и правую часть на разницу при а1: а1=(у1-у2) / (х1-х2), а1=(у2-у3) / (х2-х3). Эти выраже-ния свидетельствуют, что величина а1, если модель лин.однофакторная, формир-ся по одному и тому же закону: Δ 'i =Уi-У(i+1)/хi-x(i+1) — характ-ет формир-ие коэфф. регресии наз-ся первой разделённой разностью. Если лин. связь между у и фактором сущ -ет реально, то первые разделённые разности равны.

Допустим, что между у и другим(ми) факторами связь нелин., согласно записанному ранее нелин. связь определ -ся след. вырожением: Ух = а0+а1х1+а2х1^2. х1 меняется по n объектам, то У1=а0+а1х1+а2х1^2, у2=а0+а1х2+а2х2^2, у3=а0+а1х3+а2х3^2, у4=а0+а1х4+а2х4^2. Найдём разности между предыдущим и след. выражением: у1-у2=а1(х1-х2)+а2(х1^2-х2^2), у2-у3=а1(х2-х3)+а2(х2^2-х3^2), у3-у4=а1(х3-х4)+ а2(х3^2-х4^2). Поделим левую и правую часть на выражение при а1: (у1-у2)/(х1-х2)=а1+а2*(х1+х2)- сократили разность квадратов, (у2-у3)/(х2-х3)=а1+а2*(х2+х3), (у3-у4)/(х3-х4)=а1+а2*(х3-х4). В выражении слева есть первая разделённая разность:

Δ '1=а1+а2*(х1+х2), Δ '2=а1+а2*(х2+х3), Δ '3=а1+а2*(х3+х4), Вычтем из предыдущего следующее: Δ '1-Δ '2=а2(х1+х2-х2-х3)=а2*(х1-х3), Δ '2-Δ '3=а2*(х2-х4). Поделим лев. и прав. части на выражение при а2: (Δ '1-Δ '2)/(х1-х3)=а2, (Δ '2-Δ '3)/(х2-х4)=а2. Из полученных выраж. следует, что величина а2 коэфф-та регрессии в случае, если связь нелинейная опред-ся по одному и тому же закону: Δ '' (i)=(Δ 'i+Δ (i+1))/(хi-x(i+2))—вторая разделённая разность. Если в многоф-ной модели связь Уi и Хj нелин., то вторые разделённые разности равны.

4этап.Рассчёт параметров и характеристик модели. Важнейшие параметры - коэфф-ты регрессии а0, а1, …а(n).При их обосновании исп-ся 2 способа: 1)метод моментов, 2) метод наименьших квадратов(МНК).Сущность МНК в том, что нужно найти такие знач-ия а0, а1, …а(n), при кот. сумма квадратов отклонений расчётных знач-й рез-го пок-ля от фактич-го - величина мин, в идеале предел 0. Σ (Ух-Уi)^2→ min, lim→ 0. Чем < разность, тем в большей степени коэфф-ты регрессии а0, а1,..а(n) характ-ют измен-ие результ-го пок-ля. В чём выражается МНК и как рассчитывать на его основе а0, а1, …, а(n). Допустим, что мы хотим рассчитать параметры простейшей лин. однофакторн. КМ: Ух=а0+а1х. Подставим выраж-е справа в фор-лу МНК: Σ (а0+а1х-уi)^2=(а0+а1*х1-у1)^2+(а0+а1*х2-у2)^2+…+(а0+а1*хn-yn)^2. В получ-х выраж-ях неизв. явл-ся а0 и а1. Найдём их значения, взяв производные по а0 и а1, dy/da0=2(а0+а1х1-у1)+2(а0+а1х2-у2)+…+2(а0+а1хn-уn), dy/dа1=2(а0+а1х1-у1)х1+ 2(а0+а1х2-у2)х2+…+2(а0+а1хn-уn)хn. Тк лев. части=0, то сл-но и прав.=0. Тк все выражения справа имеют общ. множитель 2, то поделив на него получим тождестве-нные выраж-я. (а0+а1х1-у1)+(а0+а1х2-у2)+…+(а0+а1хn-уn)=0, (а0+а1х1-у1)х1+ (а0+а1х2-у2)х2+…+(а0+а1хn-уn)хn=0. Упростим получ. выраж-е: а0*n+а1*(х1+х2+…+хn)=у1+у2+…+уn, а0*n+а1*Σ х=Σ у,

а0*(х1+х2+…+хn)+а1*(х1^2+x2^2+…+хn^2)=у1*х1+у2*х2+…+уn*хn, а0*Σ х+а1*Σ х^2=Σ у*х. Т.о. чтобы найти а0, а1 линейной однофакторной КМ необх. решить систему ур-ний.

Допустим, что модель линейная многофакторная:

Ух=а0+а1*х1+а2*х2+…+аn*х*n. Необх. найти параметры а0, а1, …, аn. Запишем с-му для нахождения а0, а1, …аn на основе логики формир-я сис-мы ур-ний для лин-ой однофакторной КМ. Логика формир-ия сис-мы ур-ний для нахождения параметров а0, а1, …, аn: 1)число ур-ний на 1 больше числа факторов; 2)первое ур-ие записываем как: а0*n+все последующие коэф-ты регрессии умножая на суммы соответств. факторов = сумме у: а0*n+а1*Σ х1+а2*Σ х2+…+аn*Σ xn=Σ y 3) второе ур-ние-это первое без n умножаем на первую сумму, третье ур-ние —первое без n «*» на сумму x^2, n-ое уравнение-первое без n, умноженное на Σ х

а0*Σ х1+а1*Σ х1^2+а2*Σ х1х2+…+аn*Σ х1хn=Σ ух1

а0*Σ х2+а1*Σ х1х2+а2*Σ х2^2+…+аn*Σ хnх2=Σ ух2 ………….

а0*Σ хn+а1*Σ х1хn+а2*Σ х2хn+…+а2*Σ хn^2=Σ ухn

В том случае если модель нелинейная, то методика формир-ия сис-мы ур-ний для нахождения параметров а0, а1…аn след.: Допустим, что нелинейн. модель простейшая степенная: Ух=а0х^а1. Приводим эту модель к условию линейной, для чего логорифмируем: LgУх=Lgа0+А1Lgx, Ух'=а0'+а1х' – однофакторн. лин. КМ. Для нахождения параметров этой модели в классич. варианте Ух=а0+а1х надо было решить систему уравнений: {а0*n+a1Σ х=Σ у, а0*Σ хn+а1Σ х^2=Σ ух; В нашем сл. а0 надо заменить на а0', Ух-Ух', х-х'. { а0'n+а1Σ х'=Σ у', а0'Σ х'+а1Σ х^n=Σ у'х'; Заменим в системе уравнений а0', х', у' на исх. значения. { Lgа0n+а1Σ Lgx=Σ Lgу, Lgа0Σ Lgx+a1Σ (Lgx)^2= =Σ LgуLgx; Чтобы найти параметры а0, а1 не лин. модели необх. решить сис-му. Если модель нелин. имеет n факторов, то сис-ма ур-ний формируется по тем же принципам, как и в многофакторн. лин. модели. Возможна ситуация, когда в многоф-ой лин. модели отд-ые из факторов следует учесть как нелин. влияющие:

Ух=а0+а1х1+а2х2+а3х3^к+…+аnxn, к≠ 1. В этом случае в системе уравнений для нахождения пар-ов а0, а1, …аn вместо х3 везде запишем х3^к. Возможна ситуация, что влияние отдельного фактора в КМ будет описываться выражением:

Ух=а0+а1х1+а2х2+а3х3+аnх3^k, к=1.Влияние х3 выражается уравнением состоящим из 2 членов, в этом случае при записи системы уравнений для нахождения а0, …, аn каждый член выражения будем считать как самостоятельный фактор, т.е. в нашем случае система будет состоять как бы из 4 факторов, 4-й фактор-х3^к 5этап. Анализ исп-я рес-сов на основе КМ и планирование показателей.