Студопедия

Главная страница Случайная страница

Разделы сайта

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника






Сандық интегралдау есебінің қойылуы.






Келесідей анық талғ ан интегралды есептегенде

,

мұ ндағ ы функциясы кесіндісінде ү здіксіз, кейде белгілі Ньютон – Лейбниц формуласын қ олдануғ а болады:

(1)

мұ ндағ ы функциясының алғ ашқ ыбейнелерінің бірі болады (яғ ни, ). Бірақ, сирек жағ дайда, тә жірибе жү зінде алғ ашқ ыбейнені аналитикалық тү рде алғ анның ө зінде, анық талғ ан интегралдың сандық мә нін нақ ты соң ына дейін есептей алмаймыз. Оғ ан қ оса, кейде интеграл астындағ ы функция таблица немесе график тү рінде берілсе, онда интегралды не ү шін (6.18) формуласымен есептеу кең ауқ ымды практикалық қ олданыс алмайтыны тү сінікті болар еді.

Мұ ндай жағ дайда жуық тап (сандық) интегралдаудың ә ртү рлі тә сілдері қ олданылады.

Бір еселі интегралдарды жуық тап есептеуге қ олданылатын формулалар квадратуралық формулалар деп аталынады. Квадратуралық формулаларды қ ұ рудың қ арапайым ә дісі мынадай болады. Интеграл астындағ ы функциясы кесіндісінде интерполяциялау кө пмү шелігімен алмастырылады. Мысалы, -Лагранж кө пмү шелігімен алмастырсақ, мынадай жуық тау тең дігі қ ұ рылады:

 

, (2)

Мұ ндай ә діс ЭЕМ-де жең іл орындалатын алгоритмдерге ә келіп, нә тижені нақ ты алу мү мкіндігін береді. Бұ л жағ дайда, кесіндісі бө лікке нү ктелерімен бө лінеді, соның нә тижесінде кө пмү шелігі қ ұ рылады.

Алынғ ан нә тижені кө пмү шелігінің орнына қ оя отырып, біз

 

,

мә нін аламыз.

Сонымен

, (3)

мұ ндағ ы

, (4)

Осы табылғ ан формулалар нә тижесін біле отырып, мынаны байқ ауғ а болады:

1). коэффициенттері функциясына тә уелді еместігі, себебі олар интерполяциялау тү йіндерін ескеріп қ ұ рылғ ан.

2). Егер , -ші дә режелі полином болса, онда (2) формуласы нақ ты болады, себебі, бұ л жағ дайда .

Мұ ндағ ы xк -интерполяцияның берiлген тү йіндер, Ак -функцияның тү рiне тә уелді емес тек тү йіндер таң дауына тә уелдi коэффициенттер, R -қ алдық мү ше немесе квадратуралық формуланың қ ателiгi.

интегралдау кесiндiсiн тең n бө лiкке бө лемiз:

интеграл астындағ ы функцияны алынғ ан тораптарда есептеймiз.

Бiрдей қ ашық тық та жатқ ан тораптар ү шiн квадратуралық формулалар Ньютон-Котес формулалары деп аталады. Бұ ндай формулалардың қ арапайым тү рлерi тө менде келтiрiлген:

 

11.2 Трапеция формуласы.

(5)

мұ ндағ ы .

Қ алдық мү шесi келесi тү рде есептелiнедi:

 

11.3. Симпсон формуласы.

,

(6)

Қ алдық мү шесi келесi тү рде есептелiнедi:

 

11.4. Ньютон формуласы.

(7)

мұ ндағ ы

.

Қ алдық мү ше келесi тү рде есептелiнедi:

 

МЫСАЛ.

Келесі интегралды Симпсон формуласымен n=10 болғ анда есептеу керек:

Шешуі.

Қ алдық мү шені бағ алау ү шін функцияның тө ртінші ретті туындысын табайық.

y(4)(x) туындысы [0, 1] кесіндісінде x=1 болғ анда ең ү лкен мә нді қ абылдайды. Сондық тан

| R2

функциясының мә ндер кестесін қ ұ райық.

 

i x
  0, 0 0, 00 1, 0000   2, 7188 3, 7188    
  0, 1 0, 01   1, 0101
  0, 2 0, 04 1, 0408  
  0, 3 0, 09   1, 0942
  0, 4 0, 16 1, 1735  
  0, 5 0, 25   1, 2840
  0, 6 0, 36 1, 4333  
  0, 7 0, 49   1, 6323
  0, 8 0, 64 1, 8965  
  0, 9 0, 81   2, 2479
  1, 0 1, 00    
Қ осынды 5, 5441 7, 2685

 

Симпсон формуласымен интегралды есептеп,

,

нә тижені тө рт таң бағ а дейін дө ң гелектейміз:

 






© 2023 :: MyLektsii.ru :: Мои Лекции
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав.
Копирование текстов разрешено только с указанием индексируемой ссылки на источник.