Гильберт кеңістігінің ішкі жиынына дейінгі арақашықтық.

Н Гильберт кең істігі, М оның кейбір ішкі жиыны болсын.

санын х элементінен М жиынына дейінгі арақ ашық тық дейді.

2-теорема. Н -Гильберт кең істігі, L оның кез-келген ішкең істігі болсын. Кез-келген элементі ү шін L ішкең істігінің жалғ ыз y элементі табылып, болады.

3-теорема. Н -Гильберт кең істігі, L оның кез-келген ішкі кең істігі болсын. Егер " элементі ү шін $yÎ L, болса, онда

болады.

2-мысал. кең істігінің элементінен ішкең істігіне дейінгі арақ ашық тық ты табың ыз.

Шешуі. кең істігіне тиісті болғ ан элементін қ арастырайық.Егер кейбір вектор L жиынына тиісті болса, онда

болуы қ ажет. Шынында да,

Демек, векторының L жиынына тиісті болуы шарты .Олай болса, z₀ ^ L. Осы жерде L кең істігіне ортогонал болатын L ^{^} жиынында анық тап кетейік.Анық тама бойынша L ^{^}={yÎ : " xÎ L: (x, y)=0 }.

Бұ л жиын L ^{^}={yÎ : y=a z₀, aÎ R} болатыны айқ ын.

Лекция. Сызық тық оператор анық тамасы, ө зара бірмә нді, суперпозициялы операторлар. Сызық ты оператордың ү здіксіздігі, шенелгендігі, нормасы. Интегралды жә не дифференциал операторлар. Нормаланғ ан сызық ты операторлар кең істігі. Сызық ты жә не нормаланғ ан кең істіктегі кері операторлар

Н₁ жә не Н₂ – гильберт кең істіктері болсын делік. Егер барлық ү шін

(1)

болса, онда Н₁-ден Н₂-ге дейін t операторы изометриялық деп аталады. Бұ л тең дігіне эквивалентті жә не сондық тан

(2)

болады. Бұ дан шығ атыны

(барлық ү шін) (3)

Егер t операторының бейнесі тұ тас Н₂-мен бірдей болса, онда изометриялық оператор унитар оператор деп аталады. (1) шартынан t операторының ө зара бірмә нділігі шығ атындық тан Н₁-дан Н₂-ге деген унитар оператордың бар болуының қ ажетті жә не жеткілікті шарты болып Н₁ мен Н₂ кең істіктері ө лшемдерінің бірдейлігі табылады. Керісінше, егер болса, онда Н₁-ден Н₂-ге деген кез келген изометриялық оператор унитар болады. Ақ ырсыз ө лшемді кең істіктер ү шін бұ л ұ йғ арым, ә рине, ә діл емес.

Гильберт кең істігі Н-тағ ы симметриялық жә не унитарлық операторлар нормальдық операторлардың дербес жағ дайы болып табылады. Егер t мен t* ауыстырымды болса

(4)

онда операторы нормальдық деп аталады.

Бұ л қ асиет келесіге эквивалентті:

барлық ү шін (5)

Нормальдық операторлардың маң ызды қ асиеті мынау:

(6)

Бұ дан, жеке жағ дайда, спектралдық радиус

(7)

(6) формуланың дә лелдемесін біз симметриялық t операторының жеке жағ дайынан бастаймыз. Алдымен ескертеніміз

(8)

Расында да, болатындық тан

Басқ а жағ ынан, болатындық тан Осылайша, , t² симметриялы болатындық тан Осығ ан ұ қ сас пайымдап (6) тең дігі ү шін ә діл екенін кө реміз. t операторы нормальдық, бірақ міндетті тү рде симметриялық емес деп жориық. (8)-ді тағ ы қ олданып екенін аламыз. Бірақ (4) бойынша жә не операторы симметриялық, онда ү шін Осыдан (6) ү шін дә лелденді. Кез келген n жағ дайы ү шін болатындай m-ді сайлаймыз. (6) формула ү шін ә діл болатындық тан бұ дан Қ арама-қ арсы тең сіздік айқ ын болғ ан себепті (6) тең дік дә лелденді.

Симметриялық операторлардың маң ызды мысалы болып, ортогонал проектор немесе проекциялық оператор табылады. L H-кең істігінің кең істік асты болсын делік. Бенио Леви теоремасы бойынша кез келген элементін тү рінде бірмә нді кө рсетуге болады, мұ нда деп тұ тас Н-та анық талғ ан мә ндерінің облысы L кең істік асты болатын кейбір операторды аламыз. Бұ л оператор проекциялық оператор (немесе L – кең істікастының ү стіне ортогонал проекциялау операторы) деп аталады жә не ол да деп белгіленеді. операторы нормасы бірге тең ө зі тү йіндес оператор жә не шарты идемпотентті қ анағ аттандырады.

Бә рінен бұ рын, π сызық тық оператор, із жү зінде, егер жә не мұ нда ал болса, онда мұ нда бұ дан Ә рі қ арай у пен z-тің ортогоналдығ ынан, Сондық тан, яғ ни кез келген х ү шін Бұ дан болғ андық тан жә не сол себепті, онда

π - ө зі тү йіндес оператор екенін кө рсетейік. х₁ мен х₂ тағ ы екі элемент, у₁ пен у₂ олардың L-дің ү стіне проекциясы болсын делік. екенін аламыз. Осығ ан ұ қ сас, Сондық тан, Ең соң ында, кез келген ү шін Сол себепті кез келген ү шін яғ ни

Кері ұ йғ арым да, анығ ында, кез келген ө зі тү йіндес идемпотенттік π операторы кейбір L кең істік ү стіне ортогонал проекциялау операторы екені де ә ділдігін кө рсетейік. тү ріндегі элементтердің L жиынын қ арайық. Мұ нда х тұ тас Н-ты тү гендейді. π операторының аддитивтілігі мен біртектілігі бойынша жиыны сызық тық кө п бейне болады. L тұ йық екенін оң ай кө рсетуге болады. Іс жү зінде болсын делік. болғ андық тан кейбір ү шін Сондық тан π операторының ү зіліссіздігі нә тижесінде, - ден шығ ады. тең дігін ескеріп екенін аламыз. Сондық тан, жә не

π операторының ө зі тү йіндестігі мен шартынан шығ атыны яғ ни Енді L кең істікастының ө зінің анық тамасынан π осы кең істікасты ү стіне проекциялау операторы екені шығ ады жә не дә лелдеу керегі осы еді. L сондай, тек сондай, болатындай нү ктелерінен тұ ратынын ескертеміз.

Дә лелденген, жеке жағ дайда, π мен бірге і-π -да проекциялық оператор екені шығ ады.

Проекциялық операторлардың кейбір қ арапайым қ асиеттерін атайық. Егер болса π ₁ мен π ₂ екі проекторы ортогонал деп аталады. Бұ л шарт шартына пара-пар, себебі егер болса, онда жә не керісінше.

π ₁ мен π ₂ проекторлары ортогонал болуы ү шін сә йкес L₁ жә не L₂ кең ітік астылары ортогонал болуы қ ажетті жә не жеткілікті.

Іс жү зінде, егер болса, онда ү шін

Керісінше, егер болса, онда кез келген ү шін болады жә не сондық тан яғ ни

3-лемма. жә не екі проекторының қ осындысы проектор болуы ү шін осы операторлардың ортогонал болуы қ ажетті жә не жеткілікті. Егер осы шарт орындалса, онда бұ дан

Жеткіліктілігі болсын делік. Сонда Сол себепті проекциялық оператор. шарты бойынша L₁ жә не L₂ кең істікастылары ортогонал. Егер болса, онда

(9)

Егер, ә рі қ арай, дегі элемент болса, онда тең діктерін ескеріп, алатынымыз

(10)

(9) бен (10) тең діктерінен π дің ү стіне проекциялық оператор екені шығ ады.

4-лемма. жә не проекциялық екі оператордың кө бейтіндісі проекциялық оператор болуы ү шін жә не операторлары ауыстырымды болуы қ ажетті жә не жеткілікті. Егер осы шарт орындалса, онда

Дә лелдеме. Қ ажеттілігі. ө зі тү йіндес оператор болса, онда

Жеткіліктігі. Егер болса, онда ө зі тү йіндес оператор. Сонымен қ атар,

жә не сондық тан π – проекциялық оператор.

х Н-тағ ы кез келген элемент болсын делік. Сонда L₁-ге де, L₂-ге де, яғ ни де жатады.

Енді болсын делік. Сонда Осының бә рі π - нің ү стіне проекциялық оператор екенін білдіреді.

Егер болса, онда проекциялық π ₂ операторы проекциялық операторының бө лігі деп аталады. Тү йіндес операторғ а кө шу арқ ылы бұ л анық таманың анық тамасына пара пар екеніне сенеміз. Анық тамадан тікелей шығ атыны операторы операторының сонда, тек сонда ғ ана бө лігі болады, егерде L₂ кең істікасты L₁ кең істікастынығ бө лігі болса ғ ана.

проекциялық операторы проекциялық операторының бө лігі болуына барлық ү шін тең дігі орындалуы қ ажетті жә не жеткілікті.

Іс жү зінде, тен шығ атыны

Керісінше, егер осы шарт орындалса, онда кез келген ү шін екенін аламыз жә не тең сіздігі де ә діл болатындық тан . Сол себепті, кез келген ү шін жә не, демек, яғ ни дә лелдеу керегі осы еді.

5-лемма. Екі проекциялық оператордың айырымы сонда, тек сонда ғ ана проекциялық болады, егер дің бө лігі болса. Егер осы шарт орындалса, онда дегі ге ортогонал толық тауыш болады.

Дә лелдеме. Қ ажеттілігі. Егер проекциялық оператор болса, онда де проекциялық оператор. Бірақ онда 3-лемма бойынша яғ ни

Жеткіліктілігі. дің бө лігі болсын. Сонда жә не ортогонал, ә рі 3-лемма бойынша проекциялық оператор, жә не, содан, операторы да проекциялық. шартынан ең соң ында мен ортогонал екені шығ ады. Бірақ онда сол 3-лемма бойынша