Истечение жидкости при переменном напоре

Задача об истечении жидкости при переменном напоре обычно сводится к определению времени опорожнения или наполнения всего сосуда в зависимости от начального наполнения, формы и размеров сосуда и отверстия. Такие задачи решают при наполнении и опорожнении резервуаров, цистерн, водохранилищ, бассейнов, шлюзовых камер. Необходимо иметь в виду, что в этих случаях вследствие непрерывного изменения напора, а следовательно, и непрерывного изменения скоростей и давлений всегда наблюдается неустановившееся движение жидкости, поэтому при расчетах нельзя использовать обычное уравнение Бернулли.

При решении таких задач полное время истечения жидкости разделяют на бесконечно малые промежутки, в течение каждого напор считают постоянным, а движение жидкости установившимся.

Рассмотрим простейший пример истечения жидкости в атмосферу через донное отверстие площадью s из открытого вертикального цилиндрического сосуда, одинакового по всей высоте поперечного сечения S (рис. 8.4, а).

а) б)

Рис. 8.4. Истечение жидкости при переменном напоре:

а – ёмкость с постоянным сечением; б – ёмкость с переменным сечением

Элементарный объем жидкости , прошедшей через отверстие за бесконечно малый промежуток времени , рассчитывают по формуле

, (8.13)

где H – глубина жидкости в сосуде в данный момент времени;

– эффективное проходное (сливное) сечение отверстия.

Глубину Н в течение времени считают постоянной. В действительности за это время уровень жидкости в сосуде опустится на величину и объем жидкости в нем изменится на (S – площадь жидкости для цилиндрического вертикального резервуара диаметром d, она равна ). Знак «минус» взят потому, что с течением времени глубина Н уменьшается и, следовательно, будет отрицательной.

Вследствие неразрывности потока

откуда

. (8.14)

Полное время опорожнения сосуда определяют в результате интегрирования уравнения (8.14)

где – глубина жидкости в сосуде до начала истечения.

Меняя пределы интегрирования в правой части, принимая коэффициент расхода и вынося постоянные за знак интеграла, будем иметь

.

После интегрирования получим выражение [37]

. (8.15)

Формула (8.15) применима также к случаю истечения жидкости из отверстия в боковой стенке сосуда. При этом напор (высоту столба жидкости) отсчитывают от центра отверстия.

В качестве примера задачи на опорожнение сосудов переменного по
высоте сечения определим время опорожнения железнодорожной цистерны
(рис. 8.5), имеющей сливное отверстие А эффективнымсечением [37]. Приняв указанное на рисунке расположение координатных осей, получим

(8.16)

В рассматриваемом случае площадь поперечного сечения сосуда S представляет горизонтальную площадь свободной поверхно­сти жидкости, находящейся в цистерне, соответствующую некоторому уровню z:

(8.17)

где L – постоянная длина цистерны; х – переменная величина, зависящая от значения ординаты z (уровня жидкости в цистерне).

Установим эту зависимость. Вертикальное поперечное сечение цистерны представляет собой окружность. Ее уравнение, отнесенное к началу координат, . Отсюда

и, следовательно,

. (8.18)

Подставив полученное значение S в исходное уравнение, найдем

,

Рис. 8.5. Общий вид железнодорожной цистерны с нефтепродуктом

Вынесем постоянные за знак интеграла и переменим пределы

. (8.19)

Сделав подстановку , , после несложных преобразований в результате интегрирования получим окончательное выражение для определения времени опорожнения цистерны в секундах

, . (8.20)

Для железнодорожной цистерны модели 15-890 длиной L = 10, 3 м, радиусом r = 1, 2 м эффективным проходным (сливным) сечением отверстия
= 0, 003 м² (внешний цилиндрический насадок) и объёмом бензина 60 м³ время слива в t, согласно уравнению 8.20, составит 4850 с или 1, 35 часа.