Решения задач диагностической работы

1. Первое решение. Заметим, что данный треугольник ABC является прямоугольным ( A = 90^о). Воспользуемся тем, что диагональ квадратной клетки со сторонами, равными 1, равна . Тогда катеты AB и AC данного треугольника будут равны . Так как площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов, то площадь данного треугольника будет равна , т.е. равна 9.

Второе решение. Проведем высоту AH. Тогда BC = 6, AH = 3 и, следовательно, .

Ответ. 9.

2. Первое решение. Так как диагональ квадрата со стороной 1 равна , то сторона AC треугольника ABC равна , высота BH, проведенная к этой стороне, равна . Следовательно, площадь данного треугольника равна , т.е. равна 7, 5.

Второе решение. Разобьем данный треугольник ABC на два треугольника ABD и BDC. Их общая сторона BD равна 3, а высоты, к ней проведенные, равны соответственно 1 и 4. Площадь треугольника ABD равна 1, 5, а площадь треугольника BDC равна 6. Площадь треугольника ABC равна сумме площадей этих треугольников и, следовательно, равна 7, 5.

Ответ. 7, 5.

3. Первое решение. Найдем стороны данного прямоугольника. Рассмотрим прямоугольный треугольник ADE. Катет AE равен 4, катет DE равен 2. Следовательно, по теореме Пифагора гипотенуза AD равна . Аналогично, для прямоугольного треугольника ABF катет AF равен 1, катет BF равен 2, Следовательно, по теореме Пифагора гипотенуза AB равна . Так как площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон, то площадь данного прямоугольника будет равна , т.е. равна 10.

Второе решение. Разобьем данный прямоугольник ABCD на два треугольника ABD и BCD. Сторона BD у них общая и равна 5. Высоты AE и CF, опущенные на эту сторону, равны 2. Так как площадь треугольника равна половине произведения стороны на высоту, опущенную на эту сторону, то площадь каждого из этих двух треугольников будет равна 5 и, следовательно, площадь прямоугольника будет равна 10.

Ответ. 10.

4. Первое решение. Напомним, что площадь ромба равна половине произведения его диагоналей. Воспользуемся тем, что диагональ квадратной клетки со сторонами, равными 1, равна . Тогда диагонали AС и BD данного ромба будут равны соответственно и , а его площадь будет равна , т.е. равна 8.

Второе решение. Достроим на сторонах ромба четыре равных прямоугольных треугольника, катеты которых равны 1 и 3. Площадь каждого такого треугольника равна 1, 5. Ромб вместе с этими треугольниками образует фигуру, состоящую из четырнадцати единичных квадратов. Следовательно, ее площадь равна 14. Вычитая из нее площадь четырех треугольников, получим, что площадь ромба равна 8.

Ответ. 8.

5. Первое решение. Основания AD и BC данной трапеции равны соответственно 4 и 2. Высотой является боковая сторона CD. Она равна 3.Так как площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту, то площадь данной трапеции будет равна , т.е. равна 9.

Второе решение. Из точки B опустим перпендикуляр BH на AD. Он разобьет трапецию на прямоугольный треугольник ABH и прямоугольник HBCD. Катеты прямоугольного треугольника равны 2 и 3, следовательно, его площадь равна 3. Смежные стороны прямоугольника равны 2 и 3, следовательно, его площадь равна 6. Площадь трапеции равна сумме площадей треугольника и прямоугольника и, следовательно, равна 9.

Ответ. 9.

6. Первое решение. Основания AD и BC трапеции равны соответственно и . Высота BH трапеции равна . Так как площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту, то площадь данной трапеции будет равна и, следовательно, будет равна 9.

Второе решение. Разобьем трапецию на параллелограмм ABCE и треугольник CDE. Сторона AB параллелограмма ABCE равна 3, высота EH, к ней проведенная, равна 2, следовательно, площадь этого параллелограмма равна 6. Сторона CE треугольника CDE равна 3, высота DG, к ней проведенная, равна 2, следовательно, площадь этого треугольника равна 3. Площадь трапеции равна сумме площадей параллелограмма и треугольника и, следовательно, равна 9.

Ответ. 9.

7. Первое решение. Разобьем данный четырехугольник на два треугольника ABC и ACD. Сторона AC у них общая и равна 4. Высоты BH и DH равны 2. Следовательно, площади этих треугольников равны 4 и, значит, площадь четырехугольника равна 8.

Второе решение. Разобьем данный четырехугольник на два треугольника ABD и BCD. Сторона BD у них общая и равна 4. Высоты AH и CH равны соответственно 3 и 1. Следовательно, площади этих треугольников равны соответственно 6 и 2. Значит, площадь четырехугольника равна 8.

Ответ. 8.

Ответ. 6.

9. Первое решение. Напомним, что площадь S кругового сектора вычисляется по формуле , где R – радиус круга, - градусная величина угла сектора. В нашем случае = 90^о. Радиус R равен . Подставляя данные значения R и в формулу площади сектора, получим S = . Откуда .

R =

10. Площадь кольца равна разности площадей внешнего и внутреннего кругов. Радиус R внешнего круга равен , радиус r внутреннего круга равен 2. Следовательно, площадь S кольца равна , т.е. S = и, следовательно, .

11. Из вершины B треугольника ABC опустим высоту BH. Она равна 3. Сторона AC равна 4. Следовательно, площадь треугольника равна 6.

Ответ. 6.

Ответ. 10.