Шкала как гомоморфизм

Дадим еще раз некоторые определения, уже введенные нами в п. 1.1. Но сделаем это более строго. Не давать строгих дефиниций мы не можем: именно в них - квинтэссенция того подхода, который дает возможность продвигаться вперед в решении проблемы социологического измерения. Однако встает вопрос: почему строгие определения не были даны в начале работы?

Причина не только в том, что нам не хотелось сразу " ошарашивать" формализмом читателя-гуманитария. Данные в п. 1.1 определения тоже довольно формальны. Принципиальное их отличие от приведенных ниже состоит не в недостаточной степени формализации, а в том, что они шире (смысл этого станет ясным из главы 14). Если бы мы с самого начала определили шкалу так, как это будет сделано в настоящем параграфе, мы не смогли бы говорить об очень многих свойствах измерения, обсужденных выше. Теперь, когда, как мы надеемся, читатель убедился в актуальности уже осуществленных рассмотрении, мы сможем обоснованно говорить о том, чем хорош и чем плох для социологии формализм РТИ, и, пользуясь ее принципами, наметить пути дальнейшего развития теории социологического измерения.

Назовем системой с отношениями (СО) кортеж a =< A; R₁,..., R_m >, состоящий из некоторого множества-носителя А и совокупности заданных на нем отношений R₁,..., R_m, имеющих размерности (местности) r₁,..., г_m соответственно. ЭСО, ЧСО, МСО определим аналогично тому, как это было сделано в п. 1.1.

Предположим теперь, что у нас имеются две системы с отношениями:

a =< А; R₁,..., R_m >; b = < В; S₁,..., S_n > таких, что количество отношений в обеих СО одинаково (m=n) и что между отношениями этих СО установлено такое соответствие, при котором размерности отвечающих друг другу отношений одинаковы. Для определенности положим, что номера этих отношений тоже одинаковы: отношение R₁ отвечает отношению S₁ и оба имеют одинаковую размерность, R₂ отвечает отношению S₂ с той же размерностью,..., R_m - отношению S_m.

Назовем гомоморфизмом такое отображение a в b (символически - h:

a b), при котором каждому объекту из А ставится в соответствие один элемент из В (разным элементам из А может отвечать один и тот же элемент из В) так, что для любого i какие-

то объекты из А вступают в некоторое отношение R_i тогда и только тогда, когда их образы из В вступают в отношение S_i.

Изоморфизм - частный случай гомоморфизма, отличается от последнего тем, что отображение А в В не только однозначно, но и взаимнооднозначно.

Пусть a - ЭСО, b - ЧСО. Шкалой будем называть гомоморфное отображение h: a b.

Если А - это множество респондентов с заданными на нем отношениями равенства и порядка по росту, а В - множество натуральных чисел с заданными на нем обычными числовыми отношениями равенства и порядка и эмпирические отношения равенства и порядка ставятся нами в соответствие одноименным числовым отношениям, то осуществление гомоморфного отображения из a в b обозначает, что каждому респонденту ставится в соответствие некоторое число таким образом, что равным по росту респондентам отвечают одинаковые числа, более высокому респонденту отвечает большее число.

Преобразование ф называется допустимым преобразованием шкалы, если из того, что h: a? b - шкала, следует, что h: a? b ' = < ф (В), S_p..., S_n> - тоже шкала. При этом h' = ф _° h - суперпозиция функций ф и h. Ее использование означает последовательное применение h и ф.

Отметим, что социологи часто негативно реагируют на использование терминов " изоморфизм" и " гомоморфизм" при описании процесса измерения, считая их чисто математическими. Вряд ли такой подход правилен. Эти термины активно задействованы в литературе по осмыслению понятия модели [Гастев, 1972] и процесса познания [Frey, 1969].