Пример 1.

Определить аналитическим и графическим способами усилия в стержнях АВ и ВС заданной стержневой системы (рис. 1).

Дано:

F₁ = 28 кН; F₂ = 42 кН; ɑ ₁ = 45^о; ɑ ₂ = 60^о; ɑ ₃ = 30^о.

Определить: усилия S_A и S_c.

Решение:

1. Аналитическое решение:

а) рассматривает равновесие точки В, в которой сходятся все стержни и внешние силы (рис.1);

б) отбрасываем связи АВ и ВС, заменяя их усилиями в стержнях S_A и S_c. Направления усилий примем от узла В, предполагая стержни растянутыми. Выполним на отдельном чертеже схему действия сил в точке В (рис.2).

в) выбираем систему координат таким образом, чтобы одна из осей совпала с неизвестным усилием, например с S_A. обозначаем на схеме углы, образованные действующими силами с осью Х и составляем уравнения плоской системы сходящихся сил:

Ʃ F_RX = 0; F_{2 ˙} cos 75^o + F_{1 ˙} cos 60^o + S_{C ˙} cos 90^o – S_A = 0; (1)

Ʃ F_RY = 0; F_{2 ˙} cos 15^o - F_{1 ˙} cos 30^o + S_{C ˙} cos 0^o = 0; (2)

Из уравнения (2) находим усилие:

Подставляем числовые значения:

Найденное значение S_C подставляем в уравнение (1) и находим из него значение S_A:

S_A = F_{2 ˙} cos 75^o + F_{1 ˙} cos 60^o + S_{C ˙} cos 90^o;

S_A = 42 _˙ 0, 259 + 28 _˙ 0, 5 + 16, 32 _˙ 0 = 24, 88 кН.

Окончательно: S_A = 24, 88 кН;

S_С = 16, 32 кН.

Знаки указывают, что оба стержня растянуты.

2. Графическое решение:

Выбираем масштаб сил m = 10 кН/см, тогда силы F₁ и F₂ будут откладываться отрезками

Из произвольно выбранной точки 0 откладываем отрезок, соответствующий величине и направлению силы F₁^m. из конца этого отрезка откладываем отрезок F₂^m. так как условием равновесия сходящейся системы сил является замкнутость силового многоугольника, то из начала отрезка F₁^m откладываем линию, параллельную вектору S_C, а из конца отрезка F₂^m откладываем линию, параллельную вектору S_A. Точка их пересечения является вершиной силового многоугольника (рис.30).

Измеряя отрезки S^m_A и S^m_C умножая их на масштаб, находим значения S_A и S_C.

S_A = S^m_A · m = 2, 5 · 10 = 25 кН;

S_C = S^m_C · m = 1, 62 · 10 = 16, 2 кН.

Вычислим допущенную при графическом решении ошибку:

Ошибка должна находиться в пределах 2 %.

Ответ:

а) аналитическое решение: S_A = 16, 32 кН; S_C = 24, 88 кН;

б) графическое решение: S_A = 16, 2 кН; S_C = 25 кН.