Кинематика твердого тела

Виды движения твердого тела:

поступательное;

вращательное;

сложное.

Поступательным называют такое движение твердого тела, при котором всякая прямая линия на теле при движении остается параллельной своему начальному положению (рис.7.5).

Рис. 7.5

При поступательном движении все точки тела движутся одинаково: скорости и ускорения в каждый момент одинаковы. Поэтому для описания движения тела можно рассматривать движение одной его точки, обычно центра масс.

Поступательное движение может быть прямолинейным и криволинейным.

Вращательное движение твердого тела ‑ это такой вид движения, когда все точки тела описывают окружность относительно одной неподвижной оси. Вращательное движение характеризуется угловыми величинами: углом поворота φ (градусы или радианы), угловой скоростью ω (радианы в секунду рад/сек или 1/сек), угловым ускорением ε (рад/сек²). Зависимость между вышеназванными величинами следующая:

; ; .

В технических расчетах иногда используют величину, характеризующую движение, которая называется числом оборотов и обозначается .

Для определения скорости вращения используют частоту оборотов в минуту, которая обозначается n. Зависимость между угловой скоростью и частотой вращения следующая:

Вращательное движение твердого тела может быть равномерным, равнопеременным и неравномерным.

Равномерным является вращательное движение с постоянной угловой скоростью.

; , где ‑ начальный угол поворота

Равнопеременным считается движение с постоянным ускорением.

; ; .

Угловое ускорение при ускоренном движении — величина положительная; угловая скорость будет все время возрастать.

Угловое ускорение при замедленном движении — величина отрицательная; угловая скорость убывает.

Неравномерное угловое движение при изменяющемся угловом ускорении.

; ; переменная.

Путь, скорость и ускорения точек вращающего тела определяют по формулам:

S = φ ·R

Скорость точки вращающегося тела направлена по касательной к траектории вращения и равна:

v = ω ·R

Ускорение точки вращающегося тела состоит из двух составляющих: касательного ускорения и нормального ускорения. Касательное ускорение направлено по касательной к траектории вращения. Нормальное ускорение направлено к центру вращения.

Вектора скорости и ускорения изображены на рисунке 7.6.

Рис. 7.6

Сложное движение твердого тела раскладывается на переносное и относительное движение. Переносное движение ‑ это движение, которое происходит относительно неподвижной системы координат, которую связывают с неподвижным объектом: землей, зданием и т.д.

Относительное движение – это движение внутри материальной среды или по ее поверхности независимо от движения самой материальной среды, которое мы учитываем как абсолютное движение.

Перемещение и скорость сложного движения складывается из двух составляющих:

;

.

Одним из случаев сложного движения является плоско-параллельное движение, которое состоит из поступательного переносного движения и вращательного относительного движения.

Скорость любой точки тела при сложном движении можно рассматривать как сумму скоростей точки полюса О, скорость которой известна и относительной скорости точки А, скорость которой необходимо найти, относительно точки полюса:

Рис. 7.7

Скорость точки О принимаем за скорость поступательного движения (переносного) (Рис. 7.7), которое одинаково для всех точек тела, а скорость точки А относительно точки О принимаем за относительную скорость тела (рис. 7.8), которую определяем как скорость вращательного движения относительно точки О.

Рис. 7.8

, где ω ‑ угловая скорость относительного вращательного движения.

Рис. 7.9

Скорость точки тела при сложном движении можно определить при использовании мгновенного центра скоростей, которым называется точка тела, имеющая абсолютную скорость, равную нулю.

Рис. 7.10

Решение задачи на тему «Кинематика точки»

Задача 1.

Известно уравнение движении тела v = 5+8t, и начальные условие S ₀ = 20 м.

Траектория движения точки – кривая в форме окружности R = 50 м.

Определить пройденный путь, скорость и ускорение точки в момент времени t = 5 сек и число полных оборотом, сделанных точкой за заданное время.

Решение

Скорость точки в начальный момент времени t = 0, v ₀ = 5+8·0 = 5 (м/с);

при t= 5 сек, v = 5+8·5 = 45 (м/с)

касательное ускорение точки a_t=f'(t)=v'= 5+8·1 = 13 (м/с²);

нормальное ускорение точки: (м/с²);

полное ускорение (м/с²);

путь: S = S ₀ +v ₀ ·t+a_t t ² / 2 = 20+5 ·t+ 13 t ² / 2

при t = 5 сек, S= 20+5 ·t+ 13 t ² / 2 = 20+5·5+13·5²/2 = 207, 5 м;

полный оборот по окружности радиусом R = 50 м составляет l = 2·π ·R= 2·3, 14·50 = 314 м, путь, пройденный за 5 секунд, составляет S/l= 207, 5/314 = 0, 66 оборота или 223º 50'.

Рис. 7.11

Задача 2.

Определить угловую скорость звена 2 и 3 и скорость движения ползуна механизма, представленного на рис. 7.11, если известна угловая скорость движения первого звена ω ₁ = 10 рад/сек. Длины звеньев механизма равны l₁ = 0, 4 м

l₂ = 1, 2 м, l ₃ = 0, 6 м, l ₄ = 1, 2 м

Решение

Звено 1 совершает вращательное движение относительно точки О₁

Скорость точки А: v_А = ω ₁ · l ₁ = 10·0, 4 = 4 м/с

Звено 3 совершает вращательное движение относительно точки О ₂ . Скорость точки В направлена перпендикулярна звену О ₂ В. Определим мгновенный центр скоростей звена 2 на пересечении перпендикуляров к векторам скоростей точек А и В: v_А и v_В. Найдем точку О мгновенный центр скоростей. Угловая скорость звена 2: ω ₂ = v_А/l_АО.

Треугольник АОВ – равносторонний. l_АО = l_АВ = l ₂ = 1, 2 м

ω ₂ = v_А/l_АО = 4/1, 2=3, 33 рад/сек

v_В = ω ₂ · l_ВО = 3, 33·1, 2=4 м/с

Рассмотрим движение звена О₂В.

Направление вектора скорости точки В известно. Скорость точки С направлена вдоль направляющей ползуна. Вектора - v_В и v_С параллельны и должны быть направлены в одну сторону.Следовательно, поскольку две точки звена совершают движение в одном направлении, мы имеем дело с поступательным движением.

v_В = v_С = 4 м/с

Рис. 7.12

Варианты для самостоятельной работы

Определить вид движения и найти неизвестные, указанные в столбце 8 таблицы 7

Задание для решения задачи 1. Таблица 7.1

Рис. 7.13

Рис. 7.14

Рис. 7.15

Определить величины указанные в столбце 10 табл. 7.2 для плоских механизмов, изображенных на рис. 7.13-7.15. Механизмы состоят из стержней 1, 2, 3, длины которых указаны в столбцах 5, 6, 7 положение механизма определяется углами α, β, γ. Значения углов указаны в столбцах 2, 3, 4. Дуговые стрелки, изображенные на рис. 7.13-7.15 указывают, как при построении механизма откладываются углы ‑ по часовой стрелке или против часовой стрелки. Построение механизма начинают с точки О ₁ и звена 1, откладывая угол α от заданного направления как указано на рисунке, затем строят звено 2, откладывая угол β от звена 1, и далее, используя угол γ строят звено 3. Направление угловой скорости ω ₁ илиω _4. По часовой стрелке положительное, против часовой стрелки ‑ отрицательное. Положительное направление скорости точки В задана в направлении от В к b, отрицательное – в обратном направлении. Точка С – середина звена 2.

Данные для решения задачи 2. Таблица 7.2