Общие сведения о численном интегрировании обыкновенного дифференциального уравнения

Многие задачи сводятся к решению одного или нескольких обыкновенных дифференциальных уравнений первого или более высокого порядка. Причем дифференциальное уравнение высокого порядка почти всегда (если может выделена старшая производная), может быть сведено к системе дифференциальных уравнений первого порядка. Решение такой системы уравнений можно рассматривать как решение одного уравнения .

Формальное отличие состоит в том, что вместо скалярных величин для системы уравнений необходимо вводить векторы. В нашем случае вектор y имеет следующую форму:

.

Рассмотрим простейшее обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка . Необходимо найти , т.е.решение этого уравнения.

Полученное уравнение описывает множество решений. Для выделения конкретного решения необходимы дополнительные условия. Задача значительно упрощается, если начальные условия задаются. Постановка задачи при данных условиях есть задача Коши. При определенных условиях решение этой задачи существует, и оно является единственным. К сожалению большинство таких задач точно не решаются. Их можно решить приближенно аналитически или численно.

В настоящее время разработано большое количество различных численных методов интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений первого прядка. Выбор конкретной формулы всегда является компромиссом между весьма противоречивыми желаниями. Все существующие методы можно классифицировать, анализируя различные стороны этих методов. При этом необходимо учитывать:

· точность;

· устойчивость вычислительной схемы;

· трудоемкость (затрачиваемое время);

· необходимую память для хранения информации;

· какая нужна информация перед каждым шагом (никакой, значения функций или производных в m уже вычисленных точках) и т. д.

При выполнении численного интегрирования в проекте используется три метода: метод Эйлера, модифицированный метод Эйлера и метод Рунге-Кутта.