Спектры непериодических сигналов

Спектры непериодических сигналов конечной длительности (финитных) могут быть получены из уравнений для рядов Ф как предельные значения при .

Зададим периодическую последовательность импульсов и разложим импульс на . Не меняя положения импульса на , увеличим значение в два раза. При этом выражение для спектра останется без изменения, но число гармоник увеличится в два раза. Т.к. , т.е изменяем шаг дискретизации спектра по плюс за счет множителя в два раза уменьшаются амплитуды гармоник.

В пределе, при , периодическая последовательность импульсов заменяется одиночным финитным сигналом, дискретные частоты переходят в непрерывную последовательность , а . Чтобы этого избежать, множитель исключают, и мы приходим к интегралу Ф:

Спектр имеет смысл плотности спектра сигнала (спектральная функция сигнала)

Тригонометрическая форма интегр. Ф:

Интегр. Ф существует для сигналов, удовлетворяющих условию Дирихле или

Если это условие не выполняется, то используют другие интегральные преобразования, в частности преобразование Лапласа. Пусть при , а интеграл спектральной функции расходится. Тогда . Выберем так, чтобы интеграл сходился, пользуемся

Требуем, чтобы при .

Умножая обе части на и заменяя переменную интегрирования , получим тогда:

Обозначим

Получено преобразование Лапласа (оригинал + отображение)

Если вместо подставить , то получим спектр Ф для Каузальных функций (т.е.=0 при ).Итак, спектр непериодического сигнала интеграл Ф:

– комплексный амплитудно-частотный спектр

– амплитудный спектр

31(1). Спектральная плотность непериодических сигналов. Интегральное преобразование Фурье. Условия существования. Формы представления и свойства спектральной плотности. Для характеристики стационарных в широком смысле случайных процессов в частотной области используется – спектральная плотность стационарного случайного процесса – преобразования Ф от корреляционной функции (в комплексной форме): Физический смысл - разложение средней мощности случайного сигнала по частотам. Спектральное разложение детерминированного непериодического сигнала называется преобразованием Ф. – комплексный амплитудный частотный спектр | |- амплитудный спектр	32.Основные свойства преобразования Фурье апериодических сигналов. 1. 2. 4. 5. 6.Преобразование свертки сигналов 7.Преобразование произведения сигналов 8.Спектр мощности сигналов 9.РавенствоПарсеваля	33.Мощность и энергия сигнала. Спектр мощности сигналов По определению, мощность сигнала есть Энергия сигнала: Средняя мощность на интервале : Связь энергии и нормы сигнала: Энергия суммы сигналов: – энергия взаимодействия сигналов. Спектр мощности сигналов Равенство Парсеваля
34(1). Спектры непериодических сигналов Спектры непериодических сигналов конечной длительности (финитных) могут быть получены из уравнений для рядов Ф как предельные значения при . Зададим периодическую последовательность импульсов и разложим импульс на . Не меняя положения импульса на , увеличим значение в два раза. При этом выражение для спектра останется без изменения, но число гармоник увеличится в два раза. Т.к. , т.е изменяем шаг дискретизации спектра по плюс за счет множителя в два раза уменьшаются амплитуды гармоник.
Свойства преобразования Ф. 1. 2. 3. 4. 5. 6.Теорема Парсеваля
34(2).   В пределе, при , периодическая последовательность импульсов заменяется одиночным финитным сигналом, дискретные частоты переходят в непрерывную последовательность , а . Чтобы этого избежать, множитель исключают, и мы приходим к интегралу Ф: Спектр имеет смысл плотности спектра сигнала (спектральная функция сигнала) Тригонометрическая форма интегр. Ф: Интегр. Ф существует для сигналов, удовлетворяющих условию Дирихле или Если это условие не выполняется, то используют другие интегральные преобразования, в частности преобразование Лапласа. Пусть при , а интеграл спектральной функции расходится. Тогда . Выберем так, чтобы интеграл сходился, пользуемся Требуем, чтобы при .	34(3) Умножая обе части на и заменяя переменную интегрирования , получим тогда: Обозначим Получено преобразование Лапласа (оригинал + отображение) Если вместо подставить , то получим спектр Ф для Каузальных функций (т.е.=0 при ).Итак, спектр непериодического сигнала интеграл Ф: – комплексный амплитудно-частотный спектр – амплитудный спектр