Реальная конструкция и ее расчетная схема. Основные гипотезы о деформируемом теле. Метод сечений. Типы нагружения бруса. Напряжения, перемещения и деформации.

При проведении проектировочных расчетов конструктор имеет дело не с реальной конструкцией, а с так называемой расчетной схемой:

схемой конструкции, где все элементы имеют упрощенную форму, предполагается использование идеальных материалов, воздействие внешних нагрузок также упрощается.

При составлении расчетных схем допускаются определенные отступления от действительных условий работы реальных конструкций.

Опорные устройства

(в механике материалов рассматриваются конструкции, которые не перемещаются).

Иначе говоря, элементы конструкции всегда опираются или взаимодействует с другими элементами

– подвижная шарнирная цилиндрическая опора, не препятствующая свободному повороту бруса на опоре и осевому смещению бруса вдоль опорной плоскости. Такая опора имеет одну связь.

– шарнирно неподвижная цилиндрическая опора, допускающая поворот опорного сечения бруса, но препятствующая линейному перемещению опоры в силовой плоскости.

Такая опора имеет две связи.

– заделка, т.е. неподвижная опора с защемлением конца бруса. При нагружении бруса заделанный конец не может ни повернуться, ни сместиться вдоль какой-либо оси. Заделка исключает возможность всех трех перемещений примыкающего к заделке сечения.

Упрощение реальной конструкции

Рассчитывая, например, канат АВ на действие растягивающих усилий, условно заменяют его одной прямой линией АВ (осью каната), на концах которой приложены внешние растягивающие усилия Р и Р. Величины растягивающих усилий определяются весом Р подвешенных грузов. Потери на трение в блоках, а также вес самого каната не учитываются.

Если рассчитывается брус АВ, несущий тележку с грузом, то на расчетной схеме весь брус условно заменяют тоже одной прямой линией (обычно считается, что нагрузка, действующая на балку, передается на ось) с опорами в точках А и В. Векторами F₁ и F₂ обозначаются сосредоточенные силы, выражающие усилия, передающиеся на брус колесами тележки. Если конструкция тележки симметрична, то

где G – вес тележки с грузом.

что некоторые правила теоретической механики применять нельзя.

перенос сил по линии их действия

замена сил их равнодействующей

Схематизируются:

- формаотдельных элементов конструкции, а иногда и все конструкции;

- материал, из которого изготавливаются элементы конструкции;

- нагрузки, которые действуют на отдельные элементы и на конструкцию в целом.

Основные допущения о свойствах материалов сводятся к следующим:

1. Материал, из которого изготовляют конструкции, считается по своему строению однородным – физико-механические свойства во всех его точках одинаковы.

2. Материал по своему строению полагают сплошным и непрерывным, т.е. материал заполняет весь объем тела без пустот.

3. Материалы рассматриваются как изотропные, т.е. обладающие одинаковыми свойствами во всех направлениях.

4. Все тела (материалы) предполагаются абсолютно упругими.

Изотропными можно считать металл, камни, бетон, некоторые пластмассы.

Многие строительные материалы, имеющие волокнистое строение, например древесина, характеризуются различными свойствами в разных направлениях; такие материалы называются анизотропными.

Наука о сопротивлении материалов действию нагрузок различной природы, отказываясь от принятого в теоретической механике допущения об абсолютной твердости тела, учитывает, что все тела под действием приложенных к ним внешних сил в той или иной степени деформируются, т.е. изменяют свои размеры или форму, либо и то и другое одновременно. При этом отдельные точки тела перемещаются.

В «Сопротивлении материалов» изучают только те перемещения точек тела, которые возникают в связи с его деформацией.

Изменение линейных размеров тела называется линейной деформацией, изменение угловых размеров – угловой деформацией.

Тело называется абсолютно упругим, если оно полностью восстанавливает свою первоначальную форму.

Деформации, исчезающие после разгрузки тела, называются упругими.

Свойство тел восстанавливать свою первоначальную форму и размеры после прекращения действия нагрузки называется упругостью.

Хотя в природе таких тел не существует, но многие строительные материалы (сталь, дерево и др.) в пределах практически допустимых нагрузок получают весьма малые остаточные деформации, и поэтому их можно рассматривать как упругие тела.

Деформации, сохраняемые телом и после удаления нагрузки, называются остаточными, или пластическими деформациями.

Пластичность – свойство материала получать остаточные деформации без нарушения сплошности и образования трещин.

Жесткость – свойство материала сопротивляться упругим деформациям.

Хрупкость – свойство материала бруса к моменту разрушения претерпевать весьма малые деформации, т.е. разрушение идет без видимых изменений размеров.

Вязкость – свойство материала поглощать механическую энергию в пластически деформируемых объемах без снижения прочности.

Один и тот же материал в разных условиях может быть пластичным или хрупким.

Модель нагружения

Все силы, с которыми приходится встречаться при проведении расчетов, делятся на силы внешние и силы внутренние.

На элементы машин и конструкций всегда действуют внешние силы, которые являются результатом взаимодействия рассматриваемых элементов с другими телами.

Внешними силами называются силы, действующие на брус в целом, при рассмотрении его как единого твердого тела. Внешние силы действуют на брус извне, и они делятся на активные и реактивные внешние силы.

Активными внешними силами, или внешними нагрузками, называются все те действующие на брус силы, которые задаются самим назначением бруса и брусом воспринимаются.

Реактивными внешними силами или опорными реакциями называются силы сопротивления опорных устройств.

Внутренними силами называются силы, которые возникают внутри бруса в результате изменения его размеров и формы, вызванного приложением к телу внешних сил.

По своей природе внутренние силы представляют собой взаимодействие частиц тела, обеспечивающее его целостность. Они возникают в брусе при приложении нагрузок.

Из физики известно, что целостность и форма тела сохраняются за счет сил межатомного притяжения. Мы считаем, что в ненагруженном теле силы межатомных связей отсутствуют. А вот дополнительные силы сопротивления нагрузкам – внутренние силы – изучаются в механике материалов.

Основные гипотезы о деформируемом теле

Упрощения в расчетные схемы и, естественно в сами расчеты вносят и так называемые гипотезы (принципы), в которых декларируются некоторые допущения о процессах деформирования и соотношениях этих деформаций

Принцип начальных размеров

Перемещения, возникающие в упругих телах под воздействием внешних сил, очень малы по сравнению с размерами рассматриваемых элементов.

Закон Гука

Перемещения точек упругого тела прямо пропорциональны действующим нагрузкам.

Иными словами, внутренние силы и перемещения, возникающие в упругом теле от какой-либо системы внешних сил, не зависят от порядка, в котором эти силы прикладываются. Принцип независимости действия сил

Вследствие малости перемещений, рассматриваемых в сопротивлении материалов, и прямо пропорциональной зависимости перемещений от нагрузок можно полагать, что внешние силы действуют независимо одна от другой.

К брусу приложим систему сил – F₁, F₂, F₃.

Под действием этих сил тело деформируется и некоторая его точка К переместится в положение К₁. Заданная нагрузка может быть приложена самыми различными способами. Все три силы могут быть приложены одновременно или поочередно в разных сочетаниях. Независимо от этого прогиб в точке К будет одинаковым. Полный прогиб в точке К можно найти как сумму прогибов от каждой из приложенных сил

– прогибы в точке К, вызванные силами F₁, F₂, F₃.

Принцип Сен-Венана

В точках тела, достаточно удаленных от мест приложения нагрузок, величина внутренних сил весьма мало зависит от конкретного способа осуществления этих нагрузок.

Гипотеза плоских сечений

Согласно этой гипотезе поперечные сечения бруса, плоские до деформации, остаются плоскими и нормальными к оси бруса и после деформации.

МЕТОД СЕЧЕНИЙ

Применяют для определения величины и направления внутренних сил

Если мысленно разделить это тело плоскостью на две части, то взаимодействие частей I и II заменяется внутренними усилиями, которые уравновешивают внешние силы, действующие на отсеченную часть. Т.к. тело находится в равновесии, то и любая его часть тоже находится в равновесии. Таким образом, равновесие каждой части стержня поддерживается системой внутренних сил.

Внутренние силы, действующие на эти две части, взаимны.

Это значит, что их величины равны, а направления противоположны.

Рассмотрим, например, часть II.

Внешние силы F₄ и F₅ будут уравновешиваться внутренними силами, действующими по всей плоскости сечения.

Систему внутренних сил приводят:

к одной силе R (главному вектору)

и одной паре сил M (главному моменту), которые прикладываются в центре (приводятся к центру) тяжести сечения.

При разложении главного вектора и главного момента на эти оси получим шесть так называемых внутренних силовых факторов:

продольную силу,

две поперечных силы,

два изгибающих момента,

крутящий момент.

В расчетной практике общеприняты следующие обозначения ВСФ:

N – продольная или нормальная сила.

Действует перпендикулярно сечению;

Q_x, Q_y – поперечные силы.

Действуют в плоскости сечения;

M_x, M_y – изгибающие моменты.

Пары сил, которые действуют относительно осей,

расположенных в плоскости сечения;

M_z (М_кр. или Т) – крутящий момент.

Пара сил, которая действует относительно оси,

перпендикулярной сечению.

Учитывая допущения о малости деформаций (тело абсолютно твердое) и принцип начальных размеров для определения внутренних силовых факторов используют уравнения равновесия, известные из курса теоретической механики, применяя их для одной (любой) из отсеченных частей:

Рассмотренный метод определения внутренних сил называется методом сечений.

2.7 Классификация видов (типов) нагружения по внутренним силовым факторам

1) Растяжение (сжатие). Внешние силы действуют вдоль оси бруса – оси Z.

В поперечных сечениях возникает только один ВСФ – продольная сила N.

Сдвиг (срез). Внешние силы действуют поперек оси бруса, сдвигая одну часть его по отношению к другой.

В поперечных сечениях возникает только один ВСФ – одна из поперечных сил Q_x или Q_y.

Кручение. Внешние нагрузки создают пары сил m относительно продольной оси бруса.

В поперечных сечениях возникает только один ВСФ – крутящий момент M_z (M_кр., Т).

4) Чистый изгиб. Внешние нагрузки создают пары сил m относительно одной из осей, перпендикулярных продольной оси.

Во всех сечениях бруса возникает только один ВСФ – изгибающий момент M_x или M_y.

5) Поперечный изгиб. Этот вид нагружения условно отнесен к простым видам. Внешние нагрузки действуют поперек оси бруса.

В поперечных сечениях возникает два ВСФ – поперечная сила и изгибающий момент:

Q_y и M_x или Q_x и M_y.

2.8 Напряжения

Рассмотрим одну из частей произвольно нагруженного бруса. В сечении этой части бруса, в произвольной точке К, выделим площадку Δ A.

По этой площадке действует главный вектор – равнодействующая внутренних сил

Среднее напряжение в точке:

Полное напряжение в точке:

Закон распределения внутренних сил (ВСФ) по сечению характеризуется численной мерой – напряжением

(мерой интенсивности распределения внутренних сил по сечению).

Проекции вектора полного напряжения на оси координат: нормальные σ напряжения (действуют перпендикулярно сечению – проекция на продольную ось бруса Z);

касательные τ напряжения (действуют в плоскости сечения – проекции на оси в сечении X и Y).

Размерность напряжений:

Па, кПа, МПа.

2.9 Перемещения и деформации

Зная деформации бруса во всех его точках и зная условия закрепления, можно определить перемещения всех его точек, т.е. указать их положения (новые координаты) после деформации.

Если весь объем тела разбить на множество элементарных параллелепипедов со сторонами dx, dy, dz, то деформация бруса в целом будет определяться совокупной деформацией его элементарных составляющих.

В общем случае изменение размеров и формы каждого элемента будет зависеть от его положения в теле.

Уменьшая размеры сторон параллелепипеда в пределе получают точку.

Проведем через рассматриваемую точку С произвольного плоского сечения тела в плоскости XOY в направлении осей Х и Y бесконечно малые отрезки dx и dy.

Обозначим через Δ dx изменение длины отрезка после приложения нагрузки к телу (когда точка С переместится в положение С^/). Это есть абсолютная линейная деформация в направлении оси Х.

Следовательно после нагружения тела длина данного отрезка будет

dx ± Δ dx.

Аналогично – в направлении оси Y, если говорить о плоскости. Для пространства – и по оси Z.

Отрезок СС^/ есть полное перемещение точки в данном направлении, а u, v, w – соответственно есть проекции полного перемещения на оси X, Y, Z.

Изменение размеров отрезка в направлении всех трех осей будет характеризовать полную абсолютную линейную деформацию в данной точке.

Абсолютная линейная деформация обозначается Δ dx, Δ dy, Δ dz или в зависимости от того, как обозначается длина рассматриваемого отрезка.

Размерность абсолютной деформации – мм, см или мкм.

Отношение абсолютной линейной деформации к исходной длине представляет собой относительную линейную деформацию в данной точке в направлении указанной оси.

Относительная линейная деформация определяется:

Найденную величину обычно умножают на 100%, т.е выражают в %.

Например, пусть длина стержня l=10 см=100 мм. Если под нагрузкой стержень получит удлинение Δ l = 0, 1 мм, то относительная линейная деформация стержня будет равна:

Изменение первоначального прямого угла после приложения нагрузки к телу, представляет собой относительную угловую деформацию.

Например, угол между отрезками dx и dy будем обозначать γ _xy. Этот угол называют также – относительный сдвиг в точке С в плоскости XY.

Аналогично γ _yz, γ _xz – относительные угловые де формации в плоскостях YZ и XZ.

Относительные угловые деформации – величины безразмерные.