Главная страница Случайная страница Разделы сайта АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Число .
Покажем, что последовательность имеет предел. Для этого нодо показать, что она возрастающая и, что она ограничена сверху. Для преобразования -го члена последовательности воспользуемся Биномом Ньютона:
При увеличении число слагаемых увеличивается, и каждое слагаемое увеличивается, значит, наша последовательность возрастающая. Далее имеем , т.е. наша последовательность ограничена сверху. В последнем выражении мы использовали неравенство , которое можно доказать методом математической индукции, а также формулу суммы геометрической прогрессии. Таким образом, наша последовательность имеет предел, который назвали числом . Пусть задана последовательность . Выберем из нее бесконечное число элементов с номерами . Получим новую последовательность , которая называется подпоследовательностью последовательности . Теорема. (Больцано-Вейерштрасса). Из всякой ограниченной последовательности можно выбрать сходящуюся подпоследовательность. Доказательство. Так как ограничена, то она принадлежит отрезку . Разделим его на две равные части. По крайней мере, один из них содержит бесконечное число элементов. Обозначим его через . Выберем какой-то элемент . Разделим на две равные части, снова хотя бы один из них содержит бесконечное число элементов. Обозначим его . Выберем какой-то элемент . Продолжим этот процесс. Получим систему вложенных отрезков и подпоследовательность . Система вложенных отрезков стремится к нулю, следовательно имеет общую точку , к которой и сходится полученная подпоследовательность. Действительно . Теорема доказана. Теорема. (Критерий Коши). Для того чтобы последовательность сходилась (имела конечный предел) необходимо и достаточно чтобы она удовлетворяла условию Коши: . Доказательство. 1. (Необходимость). Пусть , тогда фундаментальна (удовлетворяет условию Коши). Имеем Пусть , тогда . 2. (Достаточность). Фундаментальная последовательность сходится (имеет конечный предел). Сначала покажем, что фундаментальная последовательность ограничена. Пусть , тогда, согласно условию Коши, , в частности . Так как , где , последовательность ограничена. Согласно теореме Больцано-Вейерштрасса, из ограниченной последовательности можно выбрать сходящуюся подпоследовательность . Пусть . Имеем В силу фундаментальности этой последовательности . Если , то , то есть . Теорема доказана. Пример. Покажем, что расходится. Запишем отрицание к условию Коши: . Пусть , тогда . Таким образом, , при котором выполняется отрицание условия Коши.
|