Доказательство. Пустьl1ya1 + + ls yas Î Mi –2 Þ

Пустьl₁y a ₁ +...+ l _s y a_s Î M _{i –2} Þ

Þ y(l₁ a ₁ +...+ l _s a_s) Î M _{i –2} Þ y ^{i -2}y(l₁ a ₁ +...+ l _s a_s) = q Þ

Þ l₁ a ₁ +...+ l _s a_s Î M _{i –1} Þ l₁ = 0,..., l _s = 0.

Векторы y a ₁,..., y a_s линейно независимы в M_{i -1} относительно M_{i –2}. ■

Перейдем к построению канонического базиса в N _r.

Пусть – базис M_k = N_r относительно M_{k -1}. Тогда элементы линейно независимы в M_{k -1} относительно M_{k –2}.

Дополним систему этих векторов до базиса M_{k -1} относительно M_{k – 2}:

– базис M_{k –1} относительно M_{k –2}.

Применяя к этим векторам линейный оператор j, получим систему, линейно независимую в M_{k –2}относительно M_{k -3}. Вновь дополним ее до базиса M_{k -2} относительно M_{k –3}.

Продолжив действия по описанному алгоритму, получим базис N_r.

y²

¼........................

Векторы базиса выписаны в виде таблицы, в которой p_k столбцов. Векторы столбца i порождают циклическое подпространство Q_i, причем

,

где базис подпространства Q_i канонический. Следовательно, выписав в строчку столбец за столбцом, получим канонический базис линейного пространства V.

Заметим, что матрица линейного оператора jв этом базисе диагональна тогда и только тогда, когда N_r = M ₁.

Пример. Матрица линейного оператора jв базисе e ₁, e ₂, e ₃, e ₄, e ₅линейного пространства имеет вид

.

Построить канонический базис.

Характеристический многочлен c(l) = | А - l Е | линейного оператора имеет один корень l =3.

Матрица линейного оператора y = j -3e в этом базисе

;

Пусть z =x ₁ e ₁+... + x ₅ e ₅, y(z) = q Þ

Þ x ₁y e ₁ + x ₂y e ₂ + x ₃y e ₃ + x ₄y e ₄ + x ₅y e ₅= qÞ

Þ x ₁(3 e ₂+3 e ₃) + x ₂3 e ₃ + x ₃q + x ₄(- e ₅) + x ₅q = qÞ

Þ 3 x ₁ e ₂ + 3(x ₁ + x ₂) e ₃ – x ₄ e ₄ = q.

Эти выкладки в матричном виде можно записать так:

, ,

;

;

Таким образом, если , то , т.е.

.

Пусть , . Повторив рассуждения, получим , где

.

Для нахождения координат вектора z при условии необходимо решить систему:

,

т.е. – любые числа. Это означает, что

.

Так как – нулевая матрица, то условию удовлетворяют все векторы линейного пространства, т.е.

.

Перейдем к построению относительных базисов.

– базис М ₃относительно М ₂,

– базис М ₂относительно М ₁.

В базисе М ₂можно заменить е₂ на . Тогда – базис М ₂относительно М ₁. Векторы , линейно независимы в М ₁и их можно взять в качестве базиса М ₁. Объединение относительных базисов – базис корневого пространства.

– базис V.

Расположим эти векторы несколько в ином порядке

.

Линейный оператор действует в этом базисе так:

Матрица линейного оператора в этом базисе имеет канонический вид – состоит из двух клеток Жордана

.

Следовательно, – канонический базис.