Упражнения. 1) Линейный оператор А унитарного (комплексного евклидового) пространства называется нормальным, если Докажите

1) Линейный оператор А унитарного (комплексного евклидового) пространства называется нормальным, если Докажите, что линейный оператор нормален тогда и только тогда, когда для него существует ортонормированный базис из собственных векторов.

2) Линейный оператор U унитарного пространства называется унитарным, если Докажите, что нормальный оператор унитарен тогда и только тогда, когда все его собственные значения по модулю равны единице.

3) Линейный оператор Н унитарного пространства называется эрмитовым, если . Линейный оператор K унитарного пространства называется косоэрмитовым, если . Докажите, что нормальный оператор эрмитов тогда и только тогда, когда все его собственные значения действительны.

4) Эрмитов оператор H унитарного пространства называется неотрицательным, если для любого ненулевого вектора х. Докажите, что эрмитов оператор неотрицательный тогда и только, когда все собственные значения этого оператора неотрицательны.

5) Эрмитов оператор H унитарного пространства называется положительно определенным, если для любого ненулевого вектора х. Докажите, что эрмитов оператор положительно определен тогда и только, когда все собственные значения этого оператора положительны.

6) Докажите, что для любого линейного оператора, действующего в унитарном пространстве, существует эрмитово разложение

, где Н ₁ и Н ₂ – эрмитовы операторы, .

7) Докажите, что если А – нормальный оператор, то нормальны также линейные операторы для любой константы , для любого натурального k, f(A) для любого многочлена f(t), для невырожденного оператора А, .

8) Для любого линейного оператора А унитарного пространства существует полярное разложение в виде произведения неотрицательного и унитарного операторов. Докажите это.

9) Докажите, что ядро нормального оператора является ортогональным дополнением к его образу.

10) Докажите, что инвариантное подпространство нормального оператора инвариантно и относительно .