Собственные векторы и собственные значения

Если существует ненулевой вектор с линейного пространства V/K, для которого , , то называется собственным значением линейного оператора , а вектор с называется собственным вектором для собственного значения .

Теорема. Собственные векторы, принадлежащие различным собственным значениям линейного оператора , линейно независимы.

Доказательство проведем методом полной математической индукции по числу собственных значений. Пусть , с . Один ненулевой вектор образует линейно независимую систему. Предположим, что утверждение верно для любого количества собственных значений < n и пусть , , , …, , при i j, . Подействовав на обе части равенства линейным оператором , получим

,

а умножив на обе части того же равенства

.

После вычитания второго из полученных равенств из первого, получим

.

По гипотезе индукции векторы x _2, ..., x_n линейно независимы, поэтому ,..., векторы x _1, ..., x_n линейно независимы. ■

Если А – квадратная матрица порядка n, Е – единичная матрица того же порядка, то – характеристический многочлен матрицы А. Легко проверить, что характеристические многочлены подобных матриц равны. Поэтому характеристический многочлен матрицы линейного оператора не зависит от выбора базиса и он называется характеристическим многочленом линейного оператора

Теорема. Собственными значениями линейного оператора являются корни его характеристического многочлена, лежащие в поле K, и только они.

Доказательство. Пусть – собственное значение линейного оператора . Тогда существует ненулевой вектор с, для которого . Пусть А – матрица линейного оператора в некотором базисе e ₁, …, e_n, c =

Тогда

Однородная система n линейных уравнений с n неизвестными x _1, ..., x_n имеет ненулевое решение. Поэтому ее определитель равен нулю

Нетрудно провести все рассуждения в обратном направлении: если – корень характеристического многочлена, то найдется ненулевой вектор с, для которого . ■

Набор корней характеристического многочлена матрицы линейного оператора называется спектром линейного оператора, причем каждый корень берется с той кратностью, какую он имеет в характеристическом многочлене. Линейный оператор имеет простой спектр, если все его характеристические корни принадлежат основному полю и различны. Для линейного оператора с простым спектром существует базис, в котором матрица линейного оператора диагональная. Подпространство L линейного пространства V/ K называется инвариантным относительно линейного оператора , если Линейный оператор , рассматриваемый только для векторов инвариантного подпространства L, называется индуцированным на L линейным оператором и обозначается – ограничение на подпространство L.

Пример. Найдите собственные векторы линейного оператора, заданного матрицей

А = .

Составим характеристическую матрицу

А - Е = .

Так как ее определитель равен , то корни характеристического уравнения = = 3, = 6. Для нахождения собственных векторов, принадлежащих собственному значению 3 рассмотрим матричное уравнение (А – 3Е) Х = или в координатной форме однородную систему линейных уравнений

Ранг матрицы системы равен 1, поэтому система равносильна системе из одного уравнения . Фундаментальная система состоит из двух решений (-5, 1, 0) и (-3, 0, 1). Все собственные векторы, принадлежащие собственному значению = = 3 записываются в виде

(-5, 1, 0) + (-3, 0, 1).

Для нахождения собственных векторов, принадлежащих собственному значению 6 рассмотрим матричное уравнение (А – 6Е) Х = или в координатной форме однородную систему линейных уравнений

Ранг матрицы системы равен 2, поэтому система равносильна системе из двух уравнений

Фундаментальная система состоит из одного решения (- ). Все собственные векторы, принадлежащие собственному значению = 6 записываются в виде

(- ).

Пример. Найдите собственные векторы линейного оператора, заданного матрицей

А =

а) над полем вещественных чисел;

б) над полем комплексных чисел.

а) Определитель матрицы (А - Е) равен - . Характеристическое уравнение над полем вещественных чисел имеет один корень 2. Координаты собственных векторов найдем из системы

Фундаментальная система решений системы (1, 1, 1). Все собственные векторы, принадлежащие собственному значению = 2 записываются в виде (1, 1, 1).

б) Характеристическое уравнение над комплексных чисел имеет три корня = 2, , . Все собственные векторы, принадлежащие собственному значению = 2 записываются в виде (1, 1, 1).

Для координаты собственных векторов найдем из системы:

С помощью элементарных преобразований получим эквивалентную систему:

Фундаментальная система решений состоит из одного решения:

, 1).

Таким образом, все собственные векторы, принадлежащие собственному значению записываются в виде

, 1).

Аналогично получим, что все собственные векторы, принадлежащие собственному значению записываются в виде

, 1).