Упражнения. 1) Найдите базисы ядра и образа линейного оператора

1) Найдите базисы ядра и образа линейного оператора

а)

б)

в) .

2) Приведите пример линейного оператора, для которого линейное пространство не является прямой суммой его образа и его ядра.

3) Приведите пример двух различных линейных операторов линейного пространства M_n многочленов степени , имеющих одни и те же образ и ядро.

4) Опишите ядро и образ оператора дифференцирования в пространстве M_n.

5) Найдите ядро и образ в пространстве M_n разностного оператора , где h – фиксированное число, отличное от нуля.

6) Докажите, что любое подпространство n- мерного линейного пространства является а)ядром некоторого линейного оператора; б) образом некоторого линейного оператора.

7) Оператор Р проектирования прямой суммы Х линейных подпространств L ₁ и на L ₁ параллельно L ₂ каждому вектору х ₁ + х ₂ из Х ставит в соответствие вектор х ₁. Найдите ядро и образ оператора проектирования.

8) Докажите, что если ядро линейного оператора, действующего в линейном пространстве, нулевое, или если образ совпадает со всем линейным пространством, то оператор биективен.