Необходимые и достаточные условия.

Необходимым условием правильности утверждения называется такое условие , без соблюдения которого утверждение заведомо не может быть верным.

Фраза «для необходимо » тождественна любой из приведенных ниже:

– если , то (из следует ).

– если «не », то «не » (из отсутствия следует отсутствие ).

– выполнено только тогда, когда выполнено ( может выполняться и при отсутствии )

Пример 1:

Для того, чтобы треугольник был равносторонним, необходимо, чтобы он был равнобедренным.

Тождественные формулировки:

– если треугольник равносторонний, то он равнобедренный

– если треугольник не равнобедренный, то он не равносторонний.

Пример 2:

Для того, чтобы ряд сходился, необходимо, чтобы .

Тождественные формулировки:

– если ряд сходится, то .

– если , то. ряд расходится.

Достаточным условием правильности утверждения называется такое условие , при котором утверждение заведомо верно.

Фраза «для достаточно » тождественна любой из приведенных ниже:

– если , то (из следует ).

– если «не », то «не » (из отсутствия следует отсутствие ).

– выполнено только тогда, когда выполнено ( может выполняться и при отсутствии )

Пример 1:

Для того, чтобы треугольник был равнобедренным, достаточно, чтобы он был равносторонним.

Тождественные формулировки:

– если треугольник равносторонний, то он равнобедренный

– если треугольник не равнобедренный, то он не равносторонний.

Пример 2:

Для того, чтобы ряд расходился, достаточно, чтобы .

Тождественные формулировки:

– если , то, ряд расходится.

– если ряд сходится, то .

Замечания:

– «для необходимо » «для достаточно ».

Пример:

Для того, чтобы четырёхугольник был ромбом, достаточно, чтобы он был квадратом. Для того, чтобы четырёхугольник был квадратом, необходимо, чтобы он был ромбом.

– если для необходимо и достаточно , то утверждения и тождественны.

Пример:

Для того, чтобы треугольник со сторонами был прямоугольным, необходимо и достаточно выполнения равенства .

Для того, чтобы зарегистрировать брак, необходимо иметь паспорт. Факт регистрации брака – достаточное условие наличия паспорта (хотя бы в момент регистрации).

Если для покупки за наличные выставленной на продажу вещи необходимо и достаточно наличия у покупателя денег и желания приобрести эту вещь, то покупка подтверждает, что и деньги, и желание были.

Для выигрыша необходимо вступить в игру. Факт выигрыша – достаточная гарантия того, что человек играл.

Выигрыша в лотерее достаточно для подтверждения приобретения лотерейного билета.

Для того, чтобы проголодаться, достаточно не есть три дня. Трёхдневное отсутствие еды не является необходимым для возникновения чувства голода.