Введення

Варіанта, розташована у центрі статистичного ряду, називається медіаною. Варіанта, що найбільш часто зустрічається в цьому ряду, називається модою.

Але медіаною і модою можна користуватися для характеристики тільки головної частини вимірювань. Для повної характеристики варіаційного ряду краще користуватися середнім арифметичним.

3.2 Обробка даних і побудова гістограм і полігонів частот

У виробничій практиці с метою наочності і полегшення розуміння дослідних даних широко використовують їх графічне уявлення. Це дозволяє виявляти закономірності, яким піддається розглянутий ряд даних, намітити міри по усуненню погіршення якості продуктів або стану процесів, чи посилити позитивний результат.

При великій кількості даних для зручності їх подальшої обробки отримані дані розбивають на інтервали (групи) і визначають частоту значень показника, що вивчається, в кожному інтервалі. При розбитті даних по інтервалах слід виходити з наступних рекомендацій:

- ширина інтервалу повинна бути однаковою або такою, щоб ряд був розбитий не менше, чим на 6-12 інтервалів;

- бажано, щоб ширина інтервалів була виражена цілими числами.

Ширину інтервалу можна визначити із співвідношення:

(3.1),

де R - розмах коливань (різниця між найбільшим і найменшим значеннями вимірювань):

R = x_max - x_min (3.2);

k - число інтервалів групування, залежне від кількості досвідчених даних n:

k = 3, 33 · lg n + 1 (3.3).

Кількість значень показника в кожній групі називається частотою m. По абсолютних частотах розраховуються відносні частоти, або частотність .

Якщо представити розподіл даних графічно в вигляді стовпчиків, то отримаємо гістограму (цей графік інколи називають стовпчиковою діаграмою).

Для її побудови на осі абсцис нанести в масштабі межі інтервалів, а на осі ординат - абсолютні або відносні частоти і побудувати для кожного інтервалу прямокутник з прийнятою шириною інтервалу і висотою m (або частотність) (1, рис. 3.1).

Рис. 3.1 - Гістограма (1) і полігон (2) розподілу досвідчених даних (полігон частот)

Гістограма може дати цінну інформацію, якщо порівняти отриманий розподіл з контрольними нормативами; а також, якщо по отриманим даним визначити середнє значення і стандартне відхилення. Гістограма використовується головним образом для аналізу значень виміряних (встановлених) параметрів.

Розподіл ознаки, що вивчається, можна представити полігоном частот (2 рис. 3.1), побудова якого аналогічно побудові гістограм. Ламаною лінією сполучають середини верхніх підстав прямокутників частот по інтервалах. Крайні крапки сполучені з серединами підстав груп, розташованих за ними. Число відносних частот, що доводяться на одиницю ширини інтервалу, називають щільність розподілу.

Оскільки показники якості вугілля і продуктів можуть мати будь-які значення в своєму діапазоні, гістограми можуть бути побудовані з дуже малою шириною інтервалу. Тоді ламана лінія, що характеризує щільність розподілу даного показника, перетворюється на плавну лінію.

Для представлення ситового і фракційного аналізу використовуються сумарні (кумулятивні) гістограми і криві розподіли. Завдяки безперервності сумарних кривих можна встановити вихід будь-якої фракції або класу крупності матеріалу.

Для контролю рівня показника якості, що потребується, використовуються контрольні карти.

Контрольна карта представляє собою спеціальний бланк, на якому проводяться центральна лінія, яка відповідно середнім показникам, і дві лінії вище і нижче середньої. Вони називаються верхньою і нижньою контрольними межами. На цю карту наносяться дані вимірювань (або контролю параметра) і умов виробництва. Досліджуючи зміни даних протягом часу, слідкують, щоб точки графіка не виходили за контрольні межі. Якщо виявляється викид однієї або декількох точок за ці межі. Це інформує про відхилення параметрів або умов процесу від встановленої норми. Для виявлення причин відхилень досліджують вплив характеристик вихідної сировини, технологічний режим, технічного оснащення. Дані контрольних карт використовують для побудови гістограм. Графіки, отримані за контрольними картам, порівнюють з контрольними нормативами. Все це представляє цінну інформацію для рішення проблем, що виникли.

(Така робота зазвичай виконується ВТК ЗФ або шахт при оновленні нормативів технічних умов на продукцію, що випускається, або для звітності про якість).

Література до лекції 3: [3] с. 49 – 53; [4] с. 12 – 17.

Лекція № 4

4 СТАТИСТИЧНА ОБРОБКА ДОСЛІДНИХ ДАНИХ

4.1 Визначення параметрів розподілу дослідних даних

Для виконання аналізу даних про зміни параметрів процесу або показників якості необхідно провести статистичну обробку цих даних.

Первинна обробка дослідних даних дає тільки якісне уявлення про зміни показника, що вивчається. Для кількісної оцінки розподілу досвідчених даних необхідно визначити їх характерні ознаки.

Для оцінки розсіяння даних значень показників якості часто застосовують різницю найбільшого і найменшого значенні R (розмах коливань). Це дозволяє оперативно оцінити, в яких межах змінюється показник. Проте він є орієнтуванням і використання його може привести до помилкових виводів.

Перше: відхилення, по яких визначається критерій, можуть бути не характерні для даного об'єкту; вони можуть бути результатом грубих (помилкових) вимірювань.

Друге: при його визначенні використовується інформація тільки про два граничних, а не про всі поточні значення ознаки.

Статистична обробка починається з визначення середнього значення і ступеня відхилення показників відносно його.

Середнє арифметичне значення:

(4.1).

Середнє виважене значення:

(4.2).

Наприклад: .

Будь-які висновки із результатів розрахунку середнього арифметичного повинні збігатися з аналізом явищ або процесів, що вивчаються. Наприклад, середня густина згущеного продукту двох гідроциклонів дорівнює 500 г/л, але це ще не значить, що обидва апарати працюють однаково.

Більш повне уявлення про міру коливання (розсіяння) параметра дає середнє відхилення ∆ - сума відхилень усіх варіант від середнього арифметичного значення, поділена на кількість варіант n:

(4.3)

Більш зручним для статистичних розрахунків є середньоквадратичне відхилення σ (СКВ) - середнє квадратичне значення відхилень окремих вимірювань від середнього значення генеральної сукупності:

(4.4)

Квадрат цієї величини σ ² називається дисперсією.

Середньоквадратичне відхилення дає узагальнену кількісну характеристику мінливості показника і характеризує сукупність в цілому. Чим більше мінливість показника щодо середнього значення, тим більше σ.

Середньоквадратичне відхилення, як розмах і дисперсія, вимірюється в тих же одиницях, що і оцінювані ними показники.

Середнє значення і середньоквадратичне відхилення σ називають параметрами розподілу.

При порівнянні мінливості показників в декількох варіаційних рядах з рівним рівнем середнього значення ознаки досить зіставити середньоквадратичне значення ознаки. Якщо ж середні значення істотно відрізняються один від одного, така оцінка недостатня. При такому положенні порівнюють відносні значення σ.

Для зіставлення різнойменних рядів або однойменних із різними середніми значеннями використовують показник мінливості, який називають коефіцієнтом варіації:

, % (4.5).

Наприклад, середні значення зольності концентрату двох флотомашин складають = 9% и = 11%,, а середньоквадратичні відхилення однакові і дорівнюють σ = 0, 4%. Коефіцієнти варіації будуть відповідно:

В даному випадку, показник мінливості більше в першій машині, значить в ній більш відчутні коливання зольності.

В деяких випадках, особливо коли значення вимірювань виражені невеликими числами, розрахунок зручніше проводити по формулі:

(4.6)

Середньоквадратичне відхилення також приблизно можна визначити по розмаху коливань:

(4.7)

де d – коефіцієнт, залежний від об’єму вибірки. Значення коефіцієнта наступні:

Якщо є ряд паралельних вимірювань показників, то середньоквадратичне відхилення можна розрахувати по формулі:

(4.8)

де d_i – різниця значень кожної пари паралельних вимірювань;

n – число вимірювань.

4.2 Вибірковий контроль і його похибки

При дослідженні виробничих процесів не завжди є можливість досліджувати всю генеральну сукупність маси продуктів збагачення. Тому удаються до вибіркового контролю, тобто дослідженню якийсь її частини - вибірки. Вибірка повинна бути такою, щоб отримані результати можна було розповсюдити на всю генеральну сукупність.

В процесі випробування виникають помилки трьох видів: випадкові, систематичні і грубі (або промахи).

Випадкові помилки залежать від неоднорідності матеріалу і об'єму вимірювань (числа проб).

Систематичні помилки викликані чинниками, які вносять постійні однозначні відхилення при визначенні ознаки у всіх випробуваннях. Наприклад, при визначенні щільності матеріалу не враховуються пори порожнечі; недостатній об'єм ковша пробовідбірника (у точкову пробу не потрапляє вся порція) і т.д.

Грубі помилки (промахи) - це наслідок недостатньої уваги експериментатора або зміни прийнятих умов експерименту.

При оцінці показності вибірок слід розрізняти два взаємодоповнюючі поняття:

- правильність випробування (вимірювань) - характеризується відхиленням результатів визначення від надійно встановленого (за допомогою стандартних зразків або багатократних визначень) досліджуваного значення показника;

- точність випробування - характеризується похибкою результатів аналізу окремих проб, тобто їх розсіянням щодо середнього значення.

Для характеристики випадкових похибок середньої величини існують ряд оцінок:

- середня помилка вибірки (або середня похибка вибірки)- це середнє квадратичне відхилення середніх значень вибірок однакового об'єму, узятих з генеральної сукупності:

(4.9),

де σ – середнє квадратичне відхилення показника, що вивчається;

n - об'єм вибірки (число вимірювань).

Гранична похибка вибірки кратна середній помилці залежно від необхідної надійності (довірчій ймовірності):

(4.10),

де t - коефіцієнт Ст´ юдента.

Виходячи з цього рівняння, задаючись граничною похибкою, середньо-квадратичним відхиленням і довірчою ймовірністю, можна визначити необхідну кількість вимірювань (об'єм вибірки, число точкових проб):

(4.11).

Чим менше об’єм матеріалу, із якого відбирається вибірка, і чим більше число варіант (число вимірів, проб) у вибірці, тим більш представницькою є вибірка.

На об'єм вибірки впливають наступні чинники:

- неоднорідність (ступінь тієї, що коливається) самого об'єкту дослідження - чим більше σ, тим за інших рівних умов об'єм вибірки повинен бути більше;

- величина граничної похибки - чим точніше необхідно отримати результат, тим вибірки повинна бути більше;

- задана довірча ймовірність - чим з більшою надійністю повинен бути отриманий результат вимірювання, тим більше t. Для практичних цілей в техніці зазвичай приймають величину Р = 0, 95, яка при нормальному розподілі відповідає t = 2.

Слід зазначити, що чим точніше проводиться визначення показників, тим це важче і дорожче. Тому на практиці не добиваються точності більшою, ніж це необхідно для вирішення поставленого завдання.

Література до лекції 4: [2] с. 70 – 82; [3] с. 53 – 61; [4] с. 24 – 37.

Лекція № 5

5 НОРМАЛЬНИЙ РОЗПОДІЛ ІМОВІРНОЇ ВИПАДКОВОЇ ВЕЛИЧИНИ

5.1 Закон нормального розподілу імовірної випадкової величини

Слід мати на увазі, що нічого не можна абсолютно точно виготовити або зміряти, оскільки в тому і іншому випадку діють безліч важко контрольованих чинників. Із-за взаємного їх впливу дійсні значення показників якості продукції, що виробляється, відрізняються від заданих, а виміряні - від істинних.

При вимірюванні однієї і тієї ж величини окремі значення зустрічаються з певною частотою, яке при достатньому об'ємі вимірювань може служити оцінкою вірогідності появи цих значень. Вірогідність може приймати значення від 0 до 1 або від 0 до 100%.

Центральна теорема теорії імовірності (Ляпунова): якщо випадкова величина залежить від ряду величин х₁, х₂, х₃, …х_n,, то незалежно від того, яким законом розподілу підкоряються ці складові, сама величина матиме розподіл вірогідності, близький до нормального (і з тим більшим наближенням, чим більше складових).

Найчастіше вживаним на практиці є нормальний розподіл ймовірності випадкової величини. Закон нормального розподілу описує безліч процесів і явищ в природі і техніці: розподіл росту різних виробничих показників; помилки вимірювань і аналізів і т.ін. В роботах по дослідженню характеру розподілу у вугіллях деяких компонентів і теплоти згорання показано, що розподіл по зольності, вологості і теплоті згорання дотримується нормального закону і тільки для сірки спостерігається відхилення.

При стійкій сировинній базі і технології збагачення на збагачувальній фабриці показники якості концентрату підкоряються нормальному закону, хоча залежать від багатьох чинників. Також і погрішності випробування, які є функцією багатьох важко контрольованих чинників, розподіляються по цьому закону.

Диференціальна функція розподілу вірогідності випадкової величини, що підкоряється нормальному закону, описуються рівнянням:

(5.1),

де φ (х) - щільність вірогідності розподілу випадкової величини;

х - випадкова величина;

- середнє значення випадкової величини;

σ - середньоквадратичне відхилення випадкової величини.

5.2 Побудова кривої щільності нормального розподілу

Графічно функція зображається кривою (рис. 5.1) з максимальною координатою:

(5.2).

Рис. 5.1 - Крива щільності нормального розподілу

Із властивостей кривої необхідно відмітити:

1) Симетричність кривої відносно середнього значення.

2) Залежність кривої від середнього арифметичного значення і середнього квадратичного відхилення.

3) Відхилення у більшу і меншу сторони рівноможливі або рівноімовірні; випадкова величина (теоретично) може приймати будь-які значення - до + ; відхилення, що мало відрізняються від , зустрічаються частіше, що значно відрізняються - рідше.

4), Закономірність розподілу і групування значень по відношенню до .

На кривій нормального розподілу є характерні точки, які відповідають прогину кривої.

Так, у межах

(от до ) відхилення зустрічаються із імовірністю Р = 0, 50 або 50 %;

(от до ) відхилення зустрічаються із імовірністю Р = 0, 6827 або 68, 27 %;

(от до ) відхилення зустрічаються із імовірністю Р = 0, 9545 або 95, 45 %;

(от до ) відхилення зустрічаються із імовірністю Р = 0, 9973 або 99, 73 %.

На практиці користуються нормальним розподілом в нормальному вигляді, який виходить заміною значення в рівнянні (5.1) нормальним відхиленням t (коефіцієнт Ст´ юдента) (додаток 3 [1]). Функція нормального розподілу в цьому випадку має вигляд:

(5.3).

Форма і положення кривої залежать від параметрів і σ (мал. 5.2).

Рис. 5.2 - Крива щільності нормального розподілу при різних значеннях параметрів і σ

Із зміною форма кривої не змінюється, вона тільки зміщується щодо центру розподілу. При зміні σ змінюється форма кривої: із зменшенням σ крива витягується вгору, а її гілки зближуються; із збільшенням σ крива стає нижчою і ширшою (гілки наближаються до осі абсцис).

5.3 Виключення вимірювань, що різко виділяються (грубих)

При статистичній обробці часто вирішується питання, чи слід виключати результати експерименту, що різко виділяються. При невеликій кількості експериментальних даних, якщо не виключити результати, що різко відрізняються, параметри розподілу будуть визначені з великою погрішністю.

Якщо аналіз показує, що сумнівний результат був отриманий за нехарактерних умов, його необхідно відкинути, не піддаючи ніяким статистичним обробкам. Коли цього не можна зробити, такі результати оцінюють за допомогою статистичних критеріїв.

На практиці найчастіше уживаються наступні методи виключення грубих вимірювань:

1. При чималому числі вимірювань n > 25 (30) відкидаються значення, що відхиляються від середнього більш ніж на ±3σ, оскільки вірогідність випадкової появи таких результатів складає при нормальному розподілі 0, 3%.

2. При виключенні грубих результатів з малого числа вимірювань (n < 25) визначається абсолютне значення відносного відхилення найбільшого і найменших значень вимірювань від середнього в долях середньоквадратичного відхилення:

(5.4)

По довідкових таблицях (додаток 4 [1]) визначається, якій вірогідності в (від 0, 01 до 0, 1) відповідає отримане значення х. Якщо воно менше заздалегідь заданого, то результат відкидається, як грубий. Аналогічній перевірці піддаються всі грубі результати.

У лабораторній практиці для результатів малого числа паралельних вимірювань застосовують наступні правила:

1. При двох вимірюваннях (n = 2) обчислюється середнє значення , середньоквадратичне відхилення σ і різниця між результатами вимірювань. Якщо , то обидва результати вважають придатними.

2. Якщо , то виконуються ще два вимірювання, обчислюється нове середньоарифметичне значення і відповідне середньоквадратичне відхилення σ.

При числі вимірювань n > 2 розраховують абсолютну величину різниць середнього арифметичного значення паралельних вимірювань і кожного з них :

, (5.5).

Якщо для кожного значення дотримується умова , то всі значення вважаються придатними. Якщо для одного із значень ця умова не виконується, то цей результат відкидається як грубий.

Література до лекції 5: [1] с. 130 - 148; [3] с. 53 – 61; 69 – 92. [4] с. 24 – 37.

ЧАСТИНА 2 МЕТОДИ ВІДБОРУ ПРОБ І УСТАТКУВАННЯ ДЛЯ ВІДБОРУ

Лекція № 6

6 МЕТОДИ ВІДБОРУ ПРОБ

6.1 Основи теорії випробування

При виконанні випробування завжди з'являється питання про міру показності проб (їх точність) і правильності відбору і дослідження.

На кожній стадії випробування виникають випадкові помилки. В теорії випробування розглядаються випадкові помилки відтворюваності. При цьому вважається, що систематичні помилки, що викликають однозначні відхилення, усунені.

У створенні теоретичних основ випробування внесли свій внесок багато вітчизняних і зарубіжних дослідників (В. Бейлі - вперше застосував математичну статистику).

Визначальні параметри випробування - число і маса проби, до якої може бути скорочена маса об'єднаної проби на будь-якій стадії підготовки з неї лабораторних проб, враховуючи крупність і однорідність матеріалу при збереженні показності.

Параметри випробування залежать від контрольованих характеристик: вміст корисних компонентів і шкідливих домішок, гранулометричного складу, вологості продуктів і ін. Для розрахунку параметрів випробування застосовують формули, що враховують крупність продукту, його мінералогічний склад, величину і характер розподілу вмісту корисного компоненту, допустиму погрішність випробування. При цьому проба скорочується до тих пір, поки не досягне мінімально необхідної при даному подрібненні маси.

В різний час запропоновані емпіричні формули для розрахунку маси проби неоднорідних матеріалів залежно від максимальної крупності кусків.

(А. Везін);

(Р. Чеччот);

(К. Демонд, А. Хальфердаль) (6.1),

де Q - маса вихідної або скороченої проби, кг;

k - коефіцієнт, що залежить від розмірів частинок корисної копалини і ступеня неоднорідності його розподілу (змінюється від 0, 05 до 1, 0);

d - діаметр частинок проби, мм;

α - коефіцієнт, що коректує залежність маси проби від діаметру її частинок (від 1, 5 до 2, 7).

Проте важливо знати не тільки масу проби, але і те, в скільки прийомів її потрібно відібрати, щоб вона була представницькою. Дослідження і накопичений досвід показали, що погрішність випробування більшою мірою залежить від числа порцій, набраних в пробу, чим від маси проби.

На підставі досліджень можна зробити виводи:

- для кожного вугілля існує критичне число порцій, вище за яке погрішність відбору проб падає дуже повільно;

- із збільшенням зольності за інших рівних умов наголошується тенденція до збільшення погрішностей на всіх стадіях випробування; із збільшенням зольності (до 40%) підвищується погрішність визначення її в лабораторії;

- погрішність обробки проб збільшується при великій крупності вугілля, оскільки дрібне вугілля більш усереднене.

Коефіцієнт k залежно від однорідності руді, що характеризується квадратичним відхиленням, приймають:

σ < 1, 5 k = 0, 0125;

σ = 1, 5-2, 0 k = 0, 025;

σ > 2 k = 0, 05.

При випробуванні кам'яного вугілля приймають k = 0, 05-0, 1, α = 2.

Всі вище представлені формули мінімальної маси проби носять емпіричний характер і отримані на підставі експериментів в певних умовах, тому і вводиться коефіцієнт k, що має різне значення для руд і вугілля.

Основною універсальною робочою формулою мінімальної маси проби, яка враховує основну характеристику матеріалу, є:

(6.2),

де - мінімальна маса проби, кг;

- дисперсія кускового випробування для кусків середнього розміру;

- дисперсія допустимої погрішності при відборі проб;

- щільність матеріалу, що випробується (середня щільність), кг/м³;

- коефіцієнт форми;

- середній розмір куска, мм.

Дисперсія кускового випробування визначається експериментально при відборі 100-200 шматків.

6.2 Методи відбору проб і їх параметри

Відбір проб може здійснюватися суцільним або вибірковим випробуванням.

Суцільне випробування застосовують при невеликому об'ємі матеріалу або при обробці проб. При цьому методі весь матеріал, що випробується, поступово скорочується і відбирається невелика його частина - проба, в якій з певною погрішністю зберігаються властивості всього початкового матеріалу.

При випробуванні великих мас вугілля і продуктів збагачення метод суцільного відбору матеріалу практично неприйнятний.

В цьому випадку використовується метод вибіркового випробування, тобто досліджується якась частина маси, що випробується - (вибірка).

Вибірковий відбір проб полягає в тому, що від вугілля відбирають точкові проби, рівномірно розподілені по всій масі, що випробується, і складують в сукупності об'єднану пробу, яка з допустимою похибкою зберігає середні властивості вугілля, що випробується. Рівномірний розподіл точкових проб по всій масі досягається шляхом їх відбору по певній схемі або через рівні проміжки часу.

Метод вибіркового випробування має два параметри, від яких залежить показність проби:

- число точкових проб;

- мінімальна маса точкових проб.

Число точкових проб визначається по формулі (4.11):

,

де σ - середньоквадратичне відхилення аналізованого показника, воно є характеристикою неоднорідності і визначається по 20-30 точковим пробам.

Другим параметром методу вибіркового відбору проб є мінімальна маса точкових проб. У міжнародній практиці мінімальна маса точкових проб для вугілля визначається по формулі:

(6.3)

де - розмір максимального куска, мм;

- коефіцієнт пропорційності, кг/мм.

Дослідженнями УкрНДІвуглезбагачення встановлено:

для вугілля крупністю ≤ 100 мм (6.4);

для вугілля крупністю > 100 мм (6.5).

Література до лекції 6: [3] с. 59 – 92.

Лекція № 7

7 ВИЗНАЧЕННЯ ПАРАМЕТРІВ ВИПРОБУВАННЯ ЗА ДСТУ