Дифракция на решетке

l

d

q

q D = d sin(q)

Разность хода: D= d sin(q).

Условие главных минимумов: d sin(q) = ml

Дополнительных минимумов: d sin(q) =±(m¢ /N)× l,

m¹ pN p = 0, 1, 2.. (m не кратно числу штрихов решетки )

Условие главных максимумов: d sin(q) = ml, m£ d/l.

Где d – постоянная решетки;

m- порядок спектра;

q - угол дифракции;

l - длина волны падающих лучей.

Постоянная решетки (период решетки): d=1/N₀,

N₀= - число щелей на единицу длины решетки.

Разрешающая способность дифракционной решетки R = =m N,

где N – общее число щелей,

m – порядок спектра,

l и l + Dl -длины волн двух близких спектральных линий.

Угловая дисперсия дифракционной решетки характеризует степень

пространственного (углового) разделения волн с различными длинами:

D = .

Единица измерения радиан на ангстрем, .

Линейная дисперсия дифракционной решетки:

D₁ = f× D = ,

где f – фокусное расстояние линзы, проецирующей спектр на экран.

Единица измерения миллиметр на ангстрем, .

Задача 1.[И 5. I08].

Плоская световая волна с λ = 0, 6 мкм падает нормально на достаточно большую стеклянную пластину, на противоположной стороне которой сделана круглая выемка. Для точки наблюдения Р она представляет собой первые полторы зоны Френеля. Найти глубину h выемки, при которой интенсивность света в течении Р будет:

а) максимальной,

б) минимальной,

в) равно интенсивности падающего света .

Чему равна интенсивность в точке Р в п.п. а) и б)?

Дано: Решение:

l = 0, 60 мкм

m = 1, 5 В задаче рассматривается дифракция Френеля

a)I_max -? Пользуясь методом Френеля, представим действие

б)I_min -? пластинки с выемкой на диаграмме Френеля.

в)I=I₀, h-?

- действие первых полутора зон (выемка).

-действие остальной части пластинки. Т.к. m = 1, 5 – мало, то АВ ОВ. Тогда D ОАВ прямоугольный равнобедренный и действия и имеют сдвиг фаз» 3/4p в полностью открытом волновом фронте (без выемки). Из-за наличия выемки между и появляется дополнительная разность фаз за счет разности хода h(n-1). Связь разности хода D и разности фаз Dj устанавливается через модуль волнового вектора k = 2p/l, D =Dj / k.

а) Максимум интенсивности будет иметь место при совпадении фаз действий выемки и остальной части, т.е. за счет разности хода должна вноситься дополнительная разность фаз, такая, чтобы действия были синфазны, т.е. Dj = 3/4p + 2pm, m =0, 1, 2,..

Тогда

3/4p Откуда ;

А В

мкм.

О

Интенсивность прямо пропорциональна квадрату амплитуды. Следовательно, I ~ (OA+AB)².

Так как АВ ОВ, то АВ² ~ I, а ОА» ОВ »АВ

и I ~ (АВ +АВ)² ~ I₀( +1)= I₀ (2 +3.)

б) Минимум интенсивности будет иметь место при противофазности действий выемки и остальной части, т.о. разность хода должна обеспечивать разность фаз , где m = 0, 1, 2,..

2p А В 3/2p А В

Тогда .

Откуда ;

мкм.

Аналогично пункту а) имеем для оценки интенсивности

I ~ (OA - AB)² = (АВ - АВ)²= I₀( -1)= I₀ (3-2 .).

в) Та же интенсивность будет иметь место (интенсивность не изменится) в двух случаях.

Первый их них очевиден: вносимая разностью хода разность фаз составляет 2pm.

Тогда Dj = 2pm, m =1, 2,.. и , откуда h₁ = = 1, 2m мкм.

Второй, как видно из рисунка, имеет место при Dj = 3/2p + 2pm, m =0, 1, 2,..

Тогда ,

Откуда ,

мкм.

Ответ: а) мкм, I = I₀ (2 +3),

б) мкм, I = I₀ (3-2 ),

в) h₁ = = 1, 2m мкм, мкм.

Задача 2./Ир5.126/

Свет с длиной волны l = 0, 50 мкм падает на щель ширины b =10 мкм под углом q = 30⁰ к ее нормали. Найти угловое положение первых минимумов, расположенных по обе стороны центрального фраунгоферова максимума.

Дано: Решение:

l = 0, 50 мкм

b =10 мкм

q = 30⁰ q q

j -? j

m=± 1 j

В соответствии с дифракцией Фраунгофера на щели при нормальном падении света, разность хода лучей, идущих в точку минимума от краев щели, должна быть кратна длине волны D=lm, m= ±1, ± 2, ±3…

Это фактически означает, что лучу, проходящему через любую точку щели, можно поставить в соответствии отстоящий от него на b/2 и имеющий разность хода, равную нечетному числу полуволн. Приходя в точку наблюдения в противофазе, такие пары лучей гасят друг друга, образуя дифракционный минимум.

При наклонном падении разность хода крайних лучей, как видно из рисунка,

D= b sin(j)-b sin(q).

Тогда направления на первые фраунгоферовы минимумы (m= ±1) имеет место в соответствии с условием b (sin(j)- sin(q))=±l.

Откуда sin(j) = ± + sin(q).

И j = arcsin(± + sin(q)).

Расчеты дают: j₊₁ = 33⁰; j_-1 = 27⁰

Ответ: j = arcsin(± + sin(q)); j₊₁ = 33⁰; j_-1 = 27⁰.

Задача 3./Г.23.10/

Период дифракционной решетки d =5× 10^-4 см. какой элемент дифракционной картины будет наблюдаться под углом j = p/6, если решетку освещать монохроматическим светом с длиной волны l= 600 нм, а ширина решетки l =0, 25 см.

Дано: Решение:

d =5× 10^-4 см Структура (элементы) дифракционной картины,

j = p/6 получаемой с помощью дифракционной решетки.

l= 600 нм Решение задачи можно проводить путем последовательной

l =0, 25 см проверки выполнимости указанных условий главных и

добавочных максимумов и минимумов.

Условие главных максимумов: d sin(j)= ml,

отсюда , m = .

Полученный номер элемента имеет не целочисленное значение, а значит наблюдается не главный максимум, а элемент картины, расположенный между 4 и 5 главными максимумами.

Условие добавочных минимумов d sin(j)= l.

Число щелей N = l / d.

То есть условие принимает вид d sin(j)= l,

Откуда и m ¢ ¢ = = 83 .

m ¢ ¢ тоже не целочисленное, т.е. наблюдается элемент картины между 83 и 84, лежащими между 4 и 5 главными максимумами.

Если считать приближенно, что добавочному максимуму между этими минимумами соответствует и m ¢ ¢ = 83 , то элементом дифракционной картины будет рост интенсивностив добавочном максимуме, расположенном между 83 и 84 добавочными минимумами, лежащими за 4 главным максимумом.

Задача 4. /Ир 5.145/

Свет, содержащий две спектральные линии с длинами волн 600, 000 и 600, 050 нм, падает нормально на дифракционную решетку ширины 10, 0мм. Под некоторым углом дифракции j эти линии на пределе разрешения (по критерию Рэлея). Найти угол j.

Дано: Решение:

l₁=600.000 нм Согласно определению разрешающей силы и

l₂= 600, 050 нм разрешающей силе дифракционной решетки

l = 10, 0 мм имеем

j -? .

Условие главных максимумов решетки:

d sin(j)= ml,

Умножим его слева и справа на число щелей решетки:

N d sin(j)= N ml.

Произведение N d есть длина решетки l=Nd, а произведение N m есть способность .

Тогда l sin (j)= или sin(j)= .

С учетом близости длин волн имеем dl = l₂- l₁, l²» l₁ l₂» l₁².

Тогда j= .

j = 46⁰

Ответ: j= , j = 46⁰