В соответствии с теоремой Гаусса

,

где q - заряд внутри выбранной поверхности.

Рассмотрим 2 случая.

1) | x | £ d/2.

В этом случае объем V, ограниченный выбранной замкнутой поверхностью, равен s× 2х. Весь этот объем заполнен зарядом с объемной плотностью r. Следовательно, заряд внутри поверхности

.

Тогда можно записать

.

Из этого выражения следует, что

.

2) | x | ³ d/2.

В этом случае не весь объем цилиндра заполнен зарядом, а только его часть, вырезающая из пластины объем V = s× d.

Тогда

,

.

Таким образом, зависимость Е (х) имеет вид

.

График зависимости E _x от x имеет вид

Внутри пластины напряженность возрастает пропорционально х, а вне пластины от х не зависит.

Пример 3. Три тонкие металлические пластины, расположены параллельно друг другу, как показано на рисунке. Площадь каждой из пластин равна s. Заряд первой пластины q₁ = q. Заряд второй пластины q₂ = 2q. Третья пластина имеет заряд q₃ = -3q. Расстояние между пластинами во много раз меньше линейных размеров пластин. Определить величину и направление силы, действующей на среднюю пластину.

Решение. Средняя пластина, несущая заряд q ₂, находится в электростатическом поле, созданном внешними пластинами с зарядами q ₁ и q ₃.

Первая пластина, с зарядом q ₁ в месте расположения средней пластины создает поле с напряженностью

.

Направление вектора совпадает с положительным направлением оси х.

Третья пластина, с зарядом q ₃ создает в том же месте поле с напряженностью

.

Направление вектора совпадает с направлением вектора _. В соответствии с принципом суперпозиции, вектор напряженности результирующего поля равен сумме векторов напряженности каждого из полей.

Поскольку векторы и имеют одинаковое направление, то

.

Сила, действующая на среднюю пластину, несущую заряд q ₂ равна

F = q ₂ E = 4q²/e₀ s.

Поскольку заряд q ₂ положительный, направление вектора совпадает с направлением вектора напряженности . Следовательно, вектор имеет направление вдоль оси х.

Пример 4. Диэлектрик 1 с диэлектрической проницаемостью e ₁ = 2 и диэлектрик 2 с диэлектрической проницаемостью e ₂ = 5 имеют общую границу раздела. Силовые линии электрического поля перпендикулярны границе раздела. Напряженность поля E ₁ в диэлектрике 1 равна 1000 В/м. Найти плотность энергии электрического поля в диэлектрике 2.

Решение. На границе раздела двух диэлектриков для нормальных составляющих векторов напряженности выполняется условие

E ₁ / E ₂ = e ₁ /e ₂,

откуда E ₂ = E ₁ e ₁ /e ₂.