Краткая теория

Измерение ширины запрещенной зоны полупроводника

Цель работы

Изучение зонной теории твердых тел; экспериментальное определение ширины запрещённой зоны на основе температурной зависимости сопротивления полупроводника.

­­

Подготовка к работе

Изучите по лекциям или учебникам [1, 2] основные понятия и величины, относящиеся к явлению электропроводности полупроводников: разрешенные и запрещенные зоны энергии, распределение Ферми-Дирака, энергия Ферми, электроны и дырки в полупроводниках, закон Ома в дифференциальной форме, зависимость электропроводности полупроводников от температуры. Прочитайте также разделы 3 и 4 методического описания, ознакомьтесь с механизмами проводимости в полупроводнике и зависимостью удельного сопротивления полупроводников от температуры, с конструкцией лабораторного стенда, порядком проведения измерений и обработки их результатов. Подготовьте ответы на контрольные вопросы. Оформите проект отчета по лабораторной работе.

Краткая теория

3.1. Зонная теория твердых тел.

Кристаллические твердые тела по своим электрическим свойствам подразделяются на три основных типа: металлы, полупроводники, диэлектрики. Наименьшим удельным сопротивлением характеризуются металлы (ρ < 10^{‑ 5} Ом·м при комнатной температуре), далее идут полупроводники (ρ = 10^-5 – 10⁸ Ом·м) и диэлектрики (ρ > 10⁸ Ом·м). При этом у металлов удельное сопротивление возрастает с увеличением температуры, а у полупроводников и диэлектриков – уменьшается.

Объяснение такой зависимости проводимости от температуры дает зонная теория твердых тел в сочетании с квантовой статистикой электронов в металлах и полупроводниках. Согласно этой теории, электроны движутся в периодическом потенциальном поле, создаваемом неподвижными ионами кристаллической решетки. Спектр энергий электронов в этом случае представляет собой набор разрешенных и запрещенных зон. В разрешенных зонах уровни энергии расположены столь часто, что расстоянием между ними можно пренебречь, т.е. считается, что энергия может изменяться непрерывно. В запрещенных зонах уровни энергии отсутствуют.

Заполнение электронами уровней в разрешенных зонах происходит согласно принципу Паули: в любом квантовом состоянии может быть не более одного электрона. При нулевой температуре электроны заполняют энергетические уровни с меньшей энергией, начиная с самого нижнего.

Среднее количество электронов в одном квантовом состоянии с энергией E в условиях термодинамического равновесия определяется функцией Ферми-Дирака:

, (1)

где E _F – энергия Ферми (уровень, энергия которого равна энергии Ферми, называется уровнем Ферми), k – постоянная Больцмана, Т – абсолютная температура.

При температуре, равной нулю, график зависимости функции Ферми-Дирака от энергии представляет собой ступеньку, равную 1 при E < E_F и нулю при E > E_F (рис. 1). При нулевой температуре заполнены все уровни, энергия которых не превышает энергию Ферми. Уровни, находящиеся выше уровня Ферми, остаются свободными. Увеличение температуры приводит к исчезновению разрыва при E = E_F и к заполнению уровней, энергия которых выше энергии Ферми. При любой положительной температуре среднее число электронов с энергией, равной энергии Ферми, равно 0.5.

Зонная структура спектра энергий электронов в твердом теле схематически представлена на рис. 2. Разрешенная зона, при нулевой температуре заполненная валентными электронами атомов, называется валентной зоной. Следующая за ней разрешенная зона с бОльшими значениями энергии уровней называется зоной проводимости. Запрещенной зоной называют зону между валентной зоной и зоной проводимости, не содержащую энергетических уровней. Ширина запрещенной зоны равна разности энергий самого нижнего уровня зоны проводимости и самого верхнего уровня валентной зоны.

Зная зонную структуру и энергию Ферми, можно сделать выводы об электрических свойствах веществ. Вещество будет проявлять металлические свойства, если при нулевой температуре часть уровней валентной зоны свободна. Такая ситуация будет, если уровень Ферми лежит внутри валентной зоны (рис. 3а).

При прохождении тока электроны получают небольшую дополнительную кинетическую энергию, связанную с их упорядоченным движением, т.е. переходят на более высокий свободный энергетический уровень. Если нет вышележащих свободных уровней, энергия которых слабо отличается от исходной энергии электрона, то этот электрон не сможет участвовать в проводимости. В случае, когда уровень Ферми лежит в валентной зоне, лежащие выше него уровни будут свободны, электроны смогут участвовать в проводимости, и вещество будет проводником.

Повышение температуры приведет к частичному заполнению уровней зоны проводимости, однако вероятность этого будет экспоненциально падать при увеличении ширины запрещенной зоны. Так, если ширина запрещенной зоны E_g составляет 1 эВ (величина, характерная для полупроводников), то при температурах, меньших 300 К, значения функции Ферми-Дирака для уровней в зоне проводимости не будут превышать 10^-7. Для диэлектриков характерная величина запрещенной зоны в 3 раза больше, то есть величина функции Ферми-Дирака для энергий вблизи дна зоны проводимости оказывается равной всего лишь 10^-21.

3.2. Зонная структура чистого полупроводника. Электроны и дырки.

В полупроводниках и диэлектриках зона проводимости и валентная зоны разделены запрещённой зоной энергий шириной E_g = E _c – E _v (Рис. 4) (E _c – энергия нижнего уровня зоны проводимости, E _v – энергия верхнего уровня валентной зоны). Энергия Ферми в полупроводниках и диэлектриках без примесей находится посередине запрещённой зоны.

В соответствии с функцией (1) при комнатной температуре валентная зона практически целиком заполнена электронами (f (E) ≈ 1), а в зоне проводимости электроны практически отсутствуют (f (E) < < 1). Переход электрона из валентной зоны в зону проводимости (рис. 4а) соответствует отрыву валентного электрона от атома. Если бы атом был одиночным, оторвавшийся от него электрон мог бы свободно двигаться в пространстве. В случае твердого тела электрон, оторвавшийся от атома, также может двигаться свободно – но только в пределах твердого тела. Энергия таких электронов лежит в зоне проводимости, и электроны называют электронами проводимости. Процесс перехода электрона из валентной зоны в зону проводимости называется генерацией.

В результате генерации атом, от которого оторвался валентный электрон, становится положительно заряженным ионом. Это эквивалентно появлению в атоме положительного носителя заряда, называемого «дыркой». Образовавшийся положительный ион может легко присоединить валентный электрон от соседнего атома, затем на освободившееся место перейдет электрон от следу­ю­щего атома и т.д. Такое эстафетное перемещение валентных электронов эквивалентно перемещению дырки внутри полупроводника.

Возможен процесс, когда на место дырки попадает не валентный электрон, а электрон проводимости. При этом происходит как бы исчезновение элек­трона проводимости и дырки. Это явление называется ре­ком­бинацией (рис. 4б).

Отметим, что по условию сохранения нейтральности (полный заряд полупроводника равен нулю) концентрации электронов проводимости n _i и дырок p _i равны: n _i = p _i, где индекс i относится к полупроводнику без примесей.

3.3. Зависимость сопротивления полупроводника от температуры.

В беспримесном полупроводнике энергия Ферми находится в середине запрещённой зоны. Среднее количество электронов на уровнях, находящихся вблизи дна зоны проводимости, согласно формуле (1) равно:

(2)

(обычно E _С–E _F » kT: величина kT ≈ 0, 026 эВ при Т = 300 K, тогда как (E_С ‑ E_F) = 0, 3 ÷ 0, 6 эВ, и, следовательно ехр (( E _С–E _F )/ kT)» 1).

Концентрация электронов в зоне проводимости пропорциональна среднему количеству электронов на уровне:

, (3)

где С ₁ – коэффициент пропорциональности, имеющий смыслконцентрации уровней с энергиями, близкими к нижней границе зоны проводимости.

Среднее количество электронов на уровнях вблизи верхней границы валентной зоны определяется величиной f ( E _v ). Следовательно, среднее количество дырок можно получить, вычитая из 1 (максимальное количество электронов на уровне) величину f( E _v ) (среднее количество электронов на уровне):

. (4)

Концентрация дырок p с энергиями, близкими к верхней границе валентной зоны, равна:

, (5)

где С₂ – коэффициент пропорциональности, имеющий смыслконцентрации уровней с энергиями вблизи потолка валентной зоны.

Перемножая равенства (3) и (5) и учитывая равенство концентраций электронов и дырок, находим:

, (6)

где введено обозначение

Найдем теперь удельное сопротивление полупроводника. Плотность полного тока j определяется равенством

. (7)

Здесь е – заряд электрона; n _i, p _i – концентрации электронов проводимости и дырок; v _n, v _p – их дрейфовые скорости.

Дрейфовые скорости, с другой стороны, связаны через подвижности электронов µ _n и дырок µ _p с напряжённостью электрического поля E:

. (8)

Подставляя (6) и (8) в (7) и учитывая закон Ома , находим:

, (9)

где (10)

коэффициент, не зависящий от температуры.

Формула (9) справедлива для чистого полупроводника. В реальных полупроводниках всегда присутствуют примесные атомы. Энергетические уровни дефектов находятся в запрещенной зоне, следовательно, электроны с этих уровней легче могут перейти в зону проводимости, чем электроны из валентной зоны. Поэтому при низких температурах проводимость полупроводников зависит от концентрации и заряда примесей. Для того, чтобы можно было пользоваться формулой (9), необходимо нагреть образец до сравнительно высокой температуры, при которой в зону проводимости из валентной зоны будет переходить намного больше электронов, чем с примесных уровней, т.е. проводимость можно будет считать собственной. Таким образом, для определения ширины запрещенной зоны следует проводить измерения сопротивления в широком диапазоне температур.

Сопротивление образца R связано с удельным сопротивлением материала ρ:

, (11)

где l – длина образца, S – площадь его поперечного сечения. Изменением линейных размеров образцов в условиях данной задачи можно пренебречь. Это позволяет записать следующее соотношение:

, (12)

гдеρ ₁₀₀ и R₁₀₀ – удельное сопротивление материала и сопротивление образца при заданной температуре, например, при 100 градусах.

Таким образом, зависимости сопротивления образца и удельного сопротивления материала от температуры качественно совпадают.