Образ и ядро линейного оператора

Определение 1. Образом линейного оператора А называется множество всех элементов , представимых в виде , где .

Образ линейного оператора А является линейным подпространством пространства . Его размерность называется рангом оператора А.

Определение 2. Ядром линейного оператора А называется множество всех векторов , для которых .

Ядро является линейным подпространством пространства Х. Его размерность называется дефектом оператора А.

Если оператор А действует в -мерном пространстве Х, то справедливо следующее соотношение + = .

Оператор А называется невырожденным, если его ядро . Ранг невырожденного оператора равен размерности пространства Х.

Пусть - матрица линейного преобразования А пространства Х в некотором базисе, тогда координаты образа и прообраза связаны соотношением

.

Поэтому координаты любого вектора удовлетворяют системе уравнений

.

Отсюда следует, что ядро линейного оператора является линейной оболочкой фундаментальной системы решений данной системы.

Задачи

1. Доказать, что ранг оператора равен рангу его матрицы в произвольном базисе.

Вычислить ядра линейных операторов, заданных в некотором базисе пространства Х следующими матрицами:

2. 3.

4.

5. Доказать, что .

Вычислить ранг и дефект операторов, заданных следующими матрицами:

6. . 7. . 8. .

3. СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ И СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ЛИНЕЙНОГО ОПЕРАТОРА

Рассмотрим линейный оператор А, действующий в - мерном пространстве Х.

Определение. Число l называется собственным значением оператора А, если , такой, что . При этом вектор называется собственным вектором оператора А.

Важнейшим свойством собственных векторов линейного оператора является то, что собственные векторы, соответствующие попарно различным собственным значениям линейно независимы.

Если - матрица линейного оператора А в базисе пространства Х, то собственные значения l и собственные векторы оператора А определяются следующим образом:

1. Собственные значения находят как корни характеристического уравнения (алгебраического уравнения -ой степени):

.

2. Координаты всех линейно независимых собственных векторов , соответствующих каждому отдельному собственному значению , получают, решая систему однородных линейных уравнений:

матрица которой имеет ранг . Фундаментальные решения этой системы являются вектор – столбцами из координат собственных векторов.

Корни характеристического уравнения называют также собственными значениями матрицы , а решения системы - собственными векторами матрицы .

Пример. Найти собственныевекторы и собственные значения оператора А, заданного в некотором базисе матрицей

1. Для определения собственных значений составляем и решаем характеристическое уравнение :

.

Отсюда собственное значение , его кратность .

2. Для определения собственных векторов составляем и решаем систему уравнений :

Эквивалентная система базисных уравнений имеет вид

Поэтому всякий собственный вектор представляет собой вектор-столбец , где с – произвольная константа.

3.1.Оператор простой структуры.

Определение. Линейный оператор А, действующий в n – мерном пространстве называется оператором простой структуры, если ему соответствует ровно n линейно независимых собственных векторов. В этом случае можно построить базис пространства из собственных векторов оператора, в котором матрица оператора имеет наиболее простой диагональный вид

,

где - собственные значения оператора. Очевидно, что верно и обратное: если в некотором базисе пространства Х матрица оператора имеет диагональный вид, то базис состоит из собственных векторов оператора.

Линейный оператор А является оператором простой структуры тогда и только тогда, когда каждому собственному значению кратности соответствует ровно линейно независимых собственных векторов. Так как собственные векторы есть решения системы уравнений то, следовательно, каждому корню характеристического уравнения кратности , должна соответствовать матрица ранга .

Всякая матрица размера , соответствующая оператору простой структуры, подобна диагональной матрице

,

где матрица перехода Т от исходного базиса к базису из собственных векторов имеет своими столбцами вектор-столбцы из координат собственных векторов матрицы (оператора А).

Пример. Привести матрицу линейного оператора к диагональному виду

.

Составим характеристическое уравнение и найдем его корни.

Откуда собственные значения кратности и кратности .

Первое собственное значение . Ему соответствуют собственные векторы, координаты которых являются

решением системы

Ранг данной системы равен 3, поэтому имеется только одно независимое решение, например, вектор .

Собственные векторы, соответствующие , определяются системой уравнений

ранг которой равен 1 и, следовательно, существует три линейно независимых решения, например,

, , .

Таким образом, каждому собственному значению кратности соответствует ровно линейно независимых собственных векторов и, следовательно, оператор является оператором простой структуры. Матрица перехода Т имеет вид

и связь между подобными матрицами и определяется соотношением

= .

Задачи

Найти собственные векторы и собственные значения

линейных операторов, заданных в некотором базисе матрицами:

1. 2. 3.

4. 5. 6.

Определить какие из следующих линейных операторов можно привести к диагональному виду путем перехода к новому базису. Найти этот базис и соответствующую ему матрицу:

7. 8. 9.

10. Доказать, что собственные векторы линейного оператора, соответствующие различным собственным значениям линейно независимы.

11. Доказать, что если линейный оператор А, действующий в , имеет n различных значений, то любой линейный оператор В перестановочный с А, обладает базисом собственных векторов, причем любой собственный вектор А будет собственным и для В.

ИНВАРИАНТНЫЕ ПОДПРОСТРАНСТВА

Определение 1.. Подпространство L линейного пространства X называется инвариантным относительно оператора А, действующего в X, если для каждого вектора его образ также принадлежит .

Основные свойства инвариантных подпространств определяются следующими соотношениями:

1. Если и являются инвариантными подпространствами относительно оператора А, то их сумма и пересечение также инвариантны относительно оператора А.

2. Если пространство Х разлагается в прямую сумму подпространств и () и инвариантно относительно А, то матрица оператора в базисе, который является объединением базисов и есть блочная матрица

,

где - квадратные матрицы, 0 – нулевая матрица.

3. Во всяком инвариантном относительно оператора А подпространстве оператор имеет хотя бы один собственный вектор.

Пример 1. Рассмотрим ядро некоторого оператора А, действующего в Х. По определению . Пусть . Тогда , так как нулевой вектор содержится во всяком линейном подпространстве. Следовательно, ядро - инвариантное относительно А подпространство.

Пример 2. Пусть в некотором базисе пространства Х оператор А задается матрицей

.

Определить все подпространства трехмерного пространства, инвариантные относительно А.

Проще всего задача решается в базисе, составленном из собственных векторов оператора, если такой базис существует. Поэтому найдем вначале собственные векторы А.

Составим и решим характеристическое уравнение

.

Откуда собственные значения кратности и кратности . Первое собственное значение простое. Соответствующий ему собственный вектор определяется системой уравнений

решая которую получим, например, .

Собственные векторы для определяются уравнением

,

имеющим два линейно независимых решения, например, и . Таким образом, в нашем случае существует базис из собственных векторов.

Пусть теперь . Тогда вектор . Воспользовавшись теперь определением инвариантного подпространства, получим, что инвариантными будут следующие подпространства:

1. Прямая с базисным вектором .

2. Прямые с базисными векторами и .

3. Линейная оболочка векторов , т.е. плоскость, задаваемая уравнением .

4. Линейные оболочки векторов и .

5. Все трехмерное пространство и нулевое пространство.

Задачи

1. Линейный оператор А задается в базисе

матрицей

.

Показать, что линейная оболочка векторов и является подпространством инвариантным относительно оператора А.

2. Доказать, что линейная оболочка любой системы собственных векторов оператора А является инвариантным подпространством.

3. Найти все подпространства трехмерного пространства, инвариантные относительно оператора, заданного в некотором базисе матрицей

.

4. Найти все подпространства трехмерного пространства, инвариантные относительно двух линейных операторов, заданных матрицами

.

5. Доказать, что любое подпространство , инвариантное относительно невырожденного оператора А, будет инвариантно и относительно обратного оператора .

6. Пусть линейное преобразование А -мерного пространства в базисе имеет диагональную матрицу с различными элементами на диагонали. Найти все подпространства, инвариантные относительно А, и определить их число.