Длина когерентности. Связь между шириной спектра излучения

и длиной когерентности волны.

В предыдущем анализе интерференции мы полагали, что интерференционная картина образована двумя пучками света (плоскими волнами) полученными от одного монохроматического источника, излучение которого не прерывается во времени и не имеет скачков фазы. Два интерферирующих пучка можно получить в результате деления исходного пучка с помощью полупрозрачного зеркала, и затем направить эти пучки в область интерференции по двум разным траекториям ТР1 и ТР2, как это показано, например, на рис.2.3.

Рис.2.3 Простая схема получения интерференционной картины.

Разность фаз Δ φ ₁₂ этих двух оптических волн, прошедших по траекториям ТР1 и ТР2, зависит от разности оптических длин прохождения волн по этим траекториям. В том случае, если излучение не прерывается во времени и траектории не изменяют своих длин во время наблюдения, разность фаз остается постоянной и не изменяется во времени. При условии постоянства разности фаз интерференционная картина остается неподвижной и не смещается относительно выбранного начала отсчета.

Однако излучение является строго непрерывным только в идеале, и можно сказать, что это некоторая теоретическая идеальная модель, недостижимая на практике. Бесконечно длинная монохроматическая волна имеет бесконечно узкий спектр частот. Реальное излучение лазера не является строго монохроматическим, а имеет конечную ширину спектра излучения. В соответствии со свойствами преобразования Фурье можно утверждать, что при этом излучение лазера происходит не непрерывно, а состоит из следующих друг за другом пакетов волн (или, по-другому, из цугов волн), длительность которых конечна. При этом следует заметить, что волновой пакет тем короче, чем шире спектр линии излучения, Волновые пакеты следуют один за другим. Однако следующий волновой пакет не является продолжением предыдущего, начальная фаза его колебаний не связана с предыдущим пакетом. Это означает, что на границе между пакетами происходит произвольный фазовый скачок. Другими словами (упрощенно) можно представить, что вынужденное лазерное излучение первого пакета порождается некоторым атомом А₁, а вынужденное излучение второго пакета порождается другим атомом А₂ и не связано с излучением атома А₁.

Рассмотрим волновой пакет гармонических колебаний с частотой f₁ и с длительностью τ (рис. 2.4) и найдем его спектр. Положим для простоты, что амплитуда колебаний в пределах пакета не изменяется.

Рис.2.4 Гармонический волновой пакет.

Рассмотрим гармоническую функцию, выражающую колебания волнового пакета на отрезке от – τ /2 до + τ /2

при

при (2.22)

Далее найдем спектр функции (2.22).

(2.23)

Распределение интенсивности по частотам спектра оптического излучения найдем как квадрат модуля функции .

(2.24)

Примерный вид зависимости А²(t) изображен на рис. 2.5.

Рис.2.5. Распределение интенсивности в спектре волнового пакета.

Нули функции min (–1) и min(+1) соответствуют точкам, где . Отсюда следует, что полуширина центрального лепестка спектра частот равна . Ширина спектральной линии по нулям равна:

(2.25)

Таким образом, ширина спектральной линии есть величина, обратная длительности волнового пакета. Протяженность волнового пакета в пространстве составляет:

, (2.26)

где с – скорость света. Учитывая, что , выразим дифференциал Δ λ через Δ f.

(2.27)

(2.28)

Подставив (2.28) в (2.26), получим:

(2.29)

Выражение (2.29) определяет длину волнового пакета, которая соответствует ширине линии Δ λ.

Длина когерентности связана с длиной волнового пакета. Если разница длин траекторий луча будет равна нулю (), то сложение волн, прошедших по траекториям ТР1 и ТР2 будет происходить в точном соответствии с их порядком следования: 1+1, 2+2, 3+3 и т.д. Эта ситуация иллюстрируется Рис2.5.

При этом фазы пакетов 1 и 1´, 2 и 2´, 3 и 3´ одинаковы. Разность фаз волн, приходящих на интерференционное поле, не изменяется, и, следовательно, положение интерференционной картины не меняется при последовательной интерференции различных пакетов. Видность усредненной во времени картины будет максимальной. Если амплитуды волн одинаковы, то коэффициент видности будет равен 1.

Рис.2.6.Схема наложения волновых пакетов при условии равенства длин

траекторий оптических пучков в схеме интерференции.

Рассмотрим случай, когда , т.е. длины траекторий Т₁ и Т₂ неодинаковы, и имеет место задержка пакетов, прошедших по траектории 2 относительно пакетов, прошедших по траектории 1. Такая ситуация показана на рис 2.7.

Рис.2.7..Схема наложения волновых пакетов при условии неравенства длин

траекторий оптических пучков в схеме интерференции.

Пусть разность длин траекторий равна некоторой части длины волнового пакета, например половине длины волнового пакета. Тогда картина сложения волн, прошедших по траекториям ТР1 и ТР2, будет прмерно такой, как это показано на рис.2.7. Часть пакета 1 налагается на пакет 2, часть пакета 2 налагается на пакет 3 и т.д. При этом разности начальных фаз частей волновых пакетов с неодинаковыми номерами будут произвольными. В результате в эти промежутки времени положения интерференционной картины будут произвольно изменяться во времени, а картина интерференции будет смещаться вдоль оси 0x при каждом скачке разности фаз волн. Далее, анализируя процесс интерференции, учтем, что время наблюдения интерференционной картины (или время экспозиции при записи картины на фотопленку) многократно превышает длительность одного волнового пакета. В результате происходит усреднение изображения за время наблюдения. Множество смещенных интерференционных картин налагаются одна на другую. В результате картина будет «смазана». Те части волновых пакетов, начальная фаза которых меняется скачкообразно, дадут вместо интерференционной картины некоторый равномерный световой фон. Другая часть волновых пакетов, при наложении которых разность фаз сохраняется без изменений на протяжении всего времени наблюдения, образует интерференционную картину (участки 1-1, 2-2, 3-3 и т.д.). Поскольку эта интерференционная картина располагается поверх равномерного светового фона, коэффициент контраста картины уменьшается. Если разность хода между двумя интерферирующими пучками превысит длину волнового пакета, то вместо интерференционной картины мы увидим лишь равномерный световой фон.

При уменьшении разности хода контраст (видность) интерференционной картины будет возрастать. При разнице равной половине длины волнового пакета мы получим видность интерференционной картины примерно равную половине максимальной видности, которую мы получили бы при разности хода лучей = 0. Эту величину обычно принимают в качестве оценки длины когерентности источника, который имеет ширину спектральной линии излучения . С учетом формулы 2.29 получим:

. (2.30)

Здесь λ _ср – средняя длина волны, соответствующая средней частоте спектральной линии, Δ λ – ширина спектральной линии лазера или иного источника, соответствующая частотной ширине полосы.

Это же соотношение можно выразить в виде следующей пропорции:

, (2.31)

Это означает, что длина когерентности во столько раз больше длины волны излучения, во сколько раз длина волны больше ширины спектральной линии излучения источника на оси длин волн.

На практике для получения высокой контрастности интерференционных полос следует проектировать оптическую схему таким образом, чтобы разность хода интерферирующих световых пучков была много меньше длины когерентности