Метод потенциальных функций

Название метода в определённой степени связано со следующей аналогией (для простоты будем считать, что распознаётся два образа). Представим себе, что объекты являются точками некоторого пространства . В эти точки будем помещать заряды , если объект принадлежит образу , и , если объект принадлежит образу (рис. 8).

Рис. 8. Иллюстрация синтеза потенциальной функции
в процессе обучения:

– потенциальная функция, порождаемая одиночным объектом;

– суммарная потенциальная функция, порождённая обучающей последовательностью

Функцию, описывающую распределение электростатического потенциала в таком поле, можно использовать в качестве решающего правила (или для его построения). Если потенциал точки , создаваемый единичным зарядом, находящимся в , равен , то общий потенциал в , создаваемый зарядами, равен

– потенциальная функция. Она, как в физике, убывает с ростом евклидова расстояния между и . Чаще всего в качестве потенциальной используется функция, имеющая максимум при и монотонно убывающая до нуля при .

Распознавание может осуществляться следующим способом. В точке , где находится неопознанный объект, вычисляется потенциал . Если он оказывается положительным, то объект относят к образу . Если отрицательным – к образу .

При большом объёме обучающей выборки эти вычисления достаточно громоздки, и зачастую выгоднее вычислять не , а оценивать разделяющую классы (образы) границу либо аппроксимировать потенциальное поле.

Выбор вида потенциальных функций – дело непростое. Например, если они очень быстро убывают с ростом расстояния, то можно добиться безошибочного разделения обучающих выборок. Однако при этом возникают определённые неприятности при распознавании неопознанных объектов (снижается достоверность принимаемого решения, возрастает зона неопределённости). При слишком " пологих" потенциальных функциях может необоснованно увеличиться количество ошибок распознавания, в том числе и на обучающих объектах. Определённые рекомендации в этом отношении можно получить, рассматривая метод потенциальных функций со статистических позиций (восстановление плотности распределения вероятностей или разделяющей границы по выборке с использованием процедуры типа стохастической аппроксимации).