Знакоопределенные и знакопеременные квадратичные формы

Квадратичные формы подразделяют на типы в зависимости от множества принимаемых ими значений.

Определение 6.11. Квадратичная форма называется:

положительно определенной, если для всякого ненулевого вектора : ;

отрицательно определенной, если для всякого ненулевого вектора : ;

неположительно определенной (отрицательно полуопределенной), если для всякого ненулевого вектора : ;

неотрицательно определенной (положительно полуопределенной), если для всякого ненулевого вектора : ;

знакопеременной, если существуют ненулевые векторы , : .

Определение 6.12. Положительно (отрицательно) определенные квадратичные формы называются знакоопределенными. Неположительно (неотрицательно) определенные квадратичные формы называются знакопостоянными.

Тип квадратичной формы можно легко определить, приведя ее к каноническому (или нормальному) виду. Справедливы следующие две теоремы.

Теорема 6.6. Пусть квадратичная форма приведена к каноническому виду и имеет сигнатуру (, ). Тогда:

является положительно определенной ;

является отрицательно определенной ;

является неположительно определенной ;

является неотрицательно определенной ;

является знакопеременной .

Из теоремы в частности следует, что всякая знакоопределенная форма является невырожденной (, ), всякая знакопостоянная форма является вырожденной (, ). Знакопеременная форма может являться как невырожденной, так и вырожденной.

Ниже в таблице указаны примеры квадратичных форм (), записанных в каноническом (или нормальном) виде, их тип и сигнатуры.

№	Квадратичная форма	Сигнатура	Тип формы
			Положительно определенная
			Отрицательно определенная
			Неположительно определенная
			Неотрицательно определенная
			Знакопеременная, невырожденная
			Знакопеременная, вырожденная

Теорема 6.7. Пусть квадратичная форма приведена к каноническому виду методом ортогональных преобразований ( собственные значения матрицы формы ). Тогда:

является положительно определенной при всех ;

является отрицательно определенной при всех ;

является неположительно определенной при всех ;

является неотрицательно определенной при всех ;

является знакопеременной среди собственных чисел есть как положительные, так и отрицательные.