Найдем среднее значение длины свободного пробега .

Для этого нужно знать вероятность dP_l того, что молекула, пролетев без столкновений путь , претерпит соударение на следующем за отрезке d .

Оба эти события, т. е. пролет без столкновений пути и соударение на отрезке d , статистически независимы. Следовательно, dP_l равна произведению вероятностей двух указанных событий.

Вероятность первого события равна .

Вероятность второго события в соответствии равна .

Таким образом,

Среднее значение :

Таким образом, обозначенная нами буквой λ величина совпадает со средней длиной свободного пробега.

За секунду молекула проходит в среднем путь, равный средней скорости .

Если за секунду она претерпевает в среднем столкновений, то средняя длина свободного пробега будет равна

Для того чтобы подсчитать среднее число столкновений ,

· предположим вначале, что все молекулы, кроме данной, застыли неподвижно на своих местах.

· Проследим за движением выделенной нами молекулы.

- Ударившись об одну из неподвижных молекул, она будет лететь прямолинейно до тех пор, пока не столкнется с какой-либо другой неподвижной молекулой (рис.3).

- Это соударение произойдет в том случае, если центр неподвижной молекулы окажется от прямой, вдоль которой летит молекула, на расстоянии, меньшем эффективного диаметра молекулы d.

- В результате столкновения молекула изменит направление своего движения, после чего некоторое время опять будет двигаться прямолинейно, пока на ее пути снова не встретится молекула, центр которой будет находиться в пределах показанного на рис.3 цилиндра радиуса d.

· За секунду молекула проходит путь, равный .

· Число происходящих за это время соударений с неподвижными молекулами равно количеству молекул, центры которых попадают внутрь коленчатого цилиндра длины и радиуса d.

· Средняя длина свободного пробега много больше, чем эффективный диаметр молекул d.

· Поэтому объем цилиндра можно считать равным π d² .

· Умножив этот объем на число молекул в единице объема n, получим среднее число столкновений за секунду движущейся молекулы с неподвижными:

События, заключающиеся в том, что первая молекула имеет скорость , а вторая — скорость , являются статистически независимыми.

Поэтому .

Для газа, находящегося в равновесии, каждый из сомножителей равен нулю. Таким образом,

(среднее значение квадрата скорости всех молекул одинаково и равно ).

Среднее число столкновений за секунду

и средняя длина свободного пробега:

Заменив π d ² через σ (где эффективное сечение молекулы ), получаем

При постоянной температуре n пропорционально р (р=nkT).

Следовательно, средняя длина свободного пробега обратно пропорциональна давлению: