Ортонормированность базиса

Математические операции в ортонормированном базисе значительно проще за счет того, что скалярное произведение любых двух векторов базиса равно нулю, а длина каждого вектора равна единице. При этом коэффициенты разложения вектора в упомянутом базисе равны проекциям (скалярному произведению) вектора на единичный орт.

Аппарат минимальных расстояний позволяет выполнить ортогонализацию и нормализацию произвольного базиса. Пусть имеется базис .

В качестве первого вектора ортонормированного базиса выбирается вектор . Вторым вектором является нормированный вектор , определяющий минимальное расстояние от до , . Подобно (7.5) определяется коэффициент λ. Отсюда вектор . Аналогично, , где , т.е. определяется минимальным расстоянием до подпространства, порожденного векторами с ортонормированным базисом . Распространяя данную процедуру, получаем , где .

Очевидно, что если , то , . Это замечание делает понятным геометрический смысл особенностей матриц и линейных преобразований с определителем, равным нулю. Если матрица А имеет определитель, равный нулю, то преобразование, соответствующее матрице А, переводит вектора исходного пространства в вектора подпространства меньшей размерности. В самом деле, поскольку определитель равен по модулю объему параллелепипеда, построенного на образах единичных координатных векторов, то в случае det A = 0 расстояние от конца хотя бы одного вектора до подпространства предыдущих векторов равно нулю. Следовательно, принадлежит подпространству i-1 векторов. А это в свою очередь означает, что пространство образов имеет уже не n независимых векторов, а меньшее количество и является подпространством исходного пространства.

Пример. Выполнить ортогонализацию векторов .

Первый вектор нового базиса . Перпендикулярный вектор .

Второй нормированный вектор нового базиса

.

Новый ортонормированный базис представлен на рис. 7.6.