Линейные преобразования

В линейном пространстве можно ввести функцию, ставящую в соответствие любому вектору некоторый вектор того же пространства:

,

где – функция преобразования пространства. Обозначение - называется оператором. Если вектор принадлежит одному пространству, Î V, а вектор другому, , то говорят о преобразовании пространств V®W. Если пространство преобразуется в себя V®V, то это линейное преобразование.

Вектор - это образ вектора под действием преобразования , а вектор - прообраз вектора .

Преобразование называется линейным, если

1) ;

2) .

Пусть – некоторый базис в n - мерном пространстве R_n и – линейное преобразование, тогда для его определения достаточно задать образы всех векторов базиса, т.е. величины: Покажем, что это так.

Если – базис, то для любого вектора существует разложение:

Используя свойства линейного преобразования, получаем:

Если образы векторов базиса известны, то можно записать:

,

поскольку , как любой произвольный вектор, имеет разложение в существующем базисе. Тогда

.

Отсюда .

В результате , где матрица А линейного преобразования есть матрица, столбцами которой являются образы базисных векторов. Таким образом, любые линейные преобразования можно описывать с помощью матриц и каждая матрица представляет некоторое линейное преобразование.

Пример. Линейное преобразование задано матрицей . Определить образ вектора .

Решение .

Определить прообраз вектора .

Решение. .