Расчет обратной матрицы методом триангуляции

По определению

(4.3)

Обозначим Х = А ^-1, а - столбцы матриц, соответственно Х и Е. В этом случае условие (4.3) может быть представлено в блочном виде

.

(4.4)

Выражение (4.4) определяет n систем линейных уравнений , решение которых определяет искомую обратную матрицу. Многократное решение СЛУ с неизменной матрицей коэффициентов A предопределяет выбор алгоритма – предварительная триангуляция матрицы A: . Решение СЛУ с триангулированной матрицей коэффициентов ,

Такой способ получения обратной матрицы требует примерно 2 n ³ операций.

Пример:

Задана матрица

.

Методом триангуляции требуется вычислить ее обратную матрицу .

В результате триангуляции получаем

, .

Вектор определяется в два этапа. Для первого столбца обратной матрицы

: ;

(4.5)

.

Аналогично (с заменой в (4.5) на и ) определяются и в целом матрица А ^{- 1} (читателю предлагается выполнить расчеты и проверку самостоятельно).

.